¿Qué es una forma no lineal en la que el tiempo en un reloj puede correr?

Question

Un reloj funciona de forma irregular, pero después de 24 horas no ha ganado ni perdido nada en general. Encuentra una forma en que el reloj pueda funcionar irregularmente de tal manera que no haya un período continuo de 576 minutos a través del cual el reloj muestre que han pasado 576 minutos. El tiempo del reloj no debe saltar de forma discontinua.

Sé que 24 horas = 1440 minutos y $576= \frac {2}{5}1440$

La idea probable es dividir las 24 horas/1440 minutos en varios intervalos y hacer que el reloj corra más rápido en los intervalos Impares (digamos una hora en 30 minutos), y luego más lento en los intervalos pares (digamos una hora en 90 minutos) para que en general siga corriendo 1440 minutos. Sin embargo, no puedo imaginarme qué función funcionaría durante 576 minutos.

Answer 1

Suponiendo que quieres encontrar una función del tiempo real al tiempo del reloj $f: \left [0,1440 \right ] \rightarrow\mathbb {R}$ de tal manera que

• $f(0)=0$
• $f(1440)=1440$
• Para todos $t \in\left [0,1440-576 \right ]$ tenemos $f(t+576)-f(t) \neq576 $
• $f$ es continuo

Si $f$ se permite que sea discontinuo como en el enunciado del problema, entonces $$f(t)= \begin {cases}0&t<1440 \\1440 &t=1440 \end {cases}$$ funciona. Hilarantemente, este es un reloj muerto, lo cual es correcto una vez al día.

La primera parte de tu idea de solución es el sonido: hacer que el reloj corra rápido a veces y lento otras veces. La parte difícil es forzar que el promedio no sea correcto en ninguna parte.

Supongamos que construimos $f$ de tal manera que $f(576)-f(0)=f(576) \neq576 $ . Entonces una forma de asegurar que el deslizamiento de la ventana hacia adelante no puede resultar en una diferencia de tiempo de exactamente $576$ es no permitir que la diferencia cambie en absoluto.

Así que, supongamos que la próxima construcción $f(t+576)=f(t)+f(576)$ para algún rango de $t$ . Nada nos impide que literalmente requiramos $f(t+576)=f(t)+f(576)$ para todos $0 \leq t \leq1440 -576$ .

La última parte es ajustarse al requisito de que $f(1440)=1440$ . Lo hacemos dividiendo la ganancia del reloj dentro de los 576 minutos en dos períodos de movimiento: uno de $0$ a $ \epsilon $ y el otro de $1440 \mod576 - \epsilon $ a $1440 \mod576 =288$ .

Esta solución particular es la siguiente:

• El reloj corre extremadamente rápido desde $0$ a $ \epsilon $ con un tiempo de 4 horas
• El reloj permanece muerto desde $ \epsilon $ hasta $288- \epsilon $
• El reloj corre extremadamente rápido desde $288- \epsilon $ a $288$ registrando 4 horas más (ahora 8)
• El reloj permanece muerto desde $288$ a $576$
• Este ciclo se repite por $576$ minutos
• Note que el tercer ciclo (parcial) termina con el reloj corriendo extremadamente rápido desde $576 \times2 +288- \epsilon =1440- \epsilon $ a $1440$ registrando 4 horas más (ahora $6 \times4 =24$ horas como se desee).

Por construcción, $f(t+576)-f(t)=f(576)=480 \neq576 $ para todos $t$ .