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Question

Me gustaría mostrar que

$$ \sin{\frac{\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{2\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{3\pi}{13}} \cdots \sin{\frac{6\pi}{13}} = \frac{\sqrt{13}}{64} $$

He estado trabajando en esto por un par de días. He utilizado el producto a la suma de las fórmulas, la escritura de los senos en su forma exponencial, etc. Cuando he utilizado el producto a la suma de las fórmulas, me gustaría obtener un factor de $1/64$, obtuve el mismo con la escritura de los senos en su forma exponencial. Yo siempre consigue $1/64$, de alguna manera, pero nunca la $\sqrt{13}$.

Me he encontrado con esto: http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi13.html, (mira en el 10º ecuación). Se dice que esto viene de uno de Newton fórmulas y vínculos a algo llamado "Newton-Girard fórmulas", que no puedo entender. :(

Gracias de antemano.

Answer 1

El uso de esta fórmula (que se encuentra aquí, y mencionó recientemente en MSE aquí):

$$\prod _{k=1}^{n-1}\,\sin \left({\frac {k\pi }{n}} \right)=\frac{n}{2^{n-1}} .$$

Deje $n=13$, lo que da $$\left(\sin{\frac{\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{2\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{3\pi}{13}} \cdots \sin{\frac{6\pi}{13}}\right)\left(\sin{\frac{7\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{8\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{9\pi}{13}} \cdots \sin{\frac{12\pi}{13}}\right) = \frac{13}{{2^{12}}}.$$

Utilice el hecho de que $\sin\dfrac{k\pi}{13}=\sin\dfrac{(13-k)\pi}{13}$ a ver que este es el mismo como

$$\left(\sin{\frac{\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{2\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{3\pi}{13}} \cdots \sin{\frac{6\pi}{13}}\right)^2 = \frac{13}{2^{12}}$$

y tomar la raíz cuadrada de ambos lados para obtener su respuesta.

Answer 2

Para entero positivo$n$

Si$\sin(2n+1)x=0, (2n+1)x=m\pi\iff x=\frac{m\pi}{2n+1} $ donde$m$ es cualquier número entero

De$(3)$ de esto ,$\displaystyle \sin(2n+1)x=2^{2n}s^{2n+1}+\cdots+(2n+1)s=0$ donde$s=\sin\frac{m\pi}{2n+1}$

Así que las raíces de$\displaystyle 2^{2n}s^{2n+1}+\cdots+(2n+1)s=0 $ son$\sin\frac{m\pi}{2n+1}; 0\le m\le2n$

Así que las raíces de$\displaystyle 2^{2n}s^{2n}+\cdots+(2n+1)=0 $ son$\sin\frac{m\pi}{2n+1}; 1\le m\le2n$

Usando la fórmula de Vieta$\displaystyle\prod_{m=1}^{2n}\sin\frac{m\pi}{2n+1}=\frac{2n+1}{2^{2n}}$

Ahora usando$\displaystyle\sin(\pi-y)=\sin y,\sin\left(\pi-\frac m{2n+1}\pi\right)=\sin\frac{(2n+1-m)\pi}{2n+1}$

$\displaystyle\prod_{m=1}^{2n}\sin\frac{m\pi}{2n+1}=\prod_{m=1}^n\sin^2\frac{m\pi}{2n+1}$

Ahora para $\displaystyle, 1\le m\le n;0<\frac{m\pi}{2n+1}<\frac\pi2\implies\sin\frac{m\pi}{2n+1}>0$