$y\ dy = 4x(y^2+1)^2\ dx \text{ and } y(0) = 1$
Lo estoy intentando: $\dfrac{y\ dy}{ (y^2+1)^2 }= 4x\ dx$ pero no sé qué hacer ahora.
Respuesta
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Buen comienzo, has separado las variables. Ahora integra.
Para la integral del lado izquierdo, haz la sustitución $u=y^2+1$ . Debería llegar a $$\int \frac{1}{2} \cdot\frac{1}{u^2} \,du,$$ que es fácil.
La integral del lado derecho es $2x^2+C$ . Utilice la condición inicial para encontrar $C$ .
Detalle añadido: Dejemos que $u=y^2+1$ . Entonces $du =2y\,dy$ y por lo tanto $y\,dy=\frac{1}{2} \,du$ . Así, $$\int \frac{y\,dy}{(1+y^2)^2}=\int \frac{1}{2}\cdot \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u}.$$ (Hemos omitido deliberadamente y de forma no del todo correcta la constante de integración, ya que tendremos una a la derecha, y con una es suficiente).
Así, una antiderivada de la expresión de la izquierda es $-\dfrac{1}{2(1+y^2)}$ .
Integrando a la derecha, terminamos con $$ -\frac{1}{2(1+y^2)}=2x^2 +C.$$ Poner $x=0$ . Desde $y(0)=1$ obtenemos $C=-\frac{1}{4}$ . Hemos llegado a $$-\frac{1}{2(1+y^2)}=2x^2-\frac{1}{4}=\frac{8x^2-1}{4}.$$ Cambiar de signo y dar la vuelta. Obtenemos $$2(1+y^2)=\frac{4}{1-8x^2.}$$ Ahora una pequeña cantidad de manipulación nos hace $y$ explícitamente en términos de $x$ . Al final hay que sacar una raíz cuadrada. Tomemos la positiva, ya que $y(0)=1\gt 0$ .
