Significado de la fórmula $\exists x\exists x P(x)$

Question

Mi libro enumera esta norma como una de las reglas de fabricación de fórmulas:

Que $\phi$ ser una fórmula y $x$ una variable, entonces $\exists x \phi$ es una fórmula

Ahora que $P(x)$ una fórmula con $x$ variable libre, me parece que con esta regla dos veces, se puede concluir que el $\exists x\exists x P(x)$ es una fórmula. Estoy dispuesto a aceptar esto como sólo una cadena de símbolos, pero quisiera saber su "significado" si hay uno.

Gracias

Answer 1

Tienes razón que es una extraña cadena de símbolos, pero la razón que resulta extraño es porque es redundante. Si usted "enlazar" una variable después de que ya se han enlazado, el el cuantificador más interno tiene prioridad. En este caso, $\exists x \exists x P(x)$ es redundante y es equivalente a $\exists x P(x)$. Si, por ejemplo, tuvieras $\forall x \exists x P(x)$, esto también sería equivalente a $\exists x P(x)$; otra vez, aquí, el cuantificador universal es redundante.

Answer 2

Esto es sólo para añadir a Alex Kocurek perfectamente respuesta correcta. Podría ayudar a recordar explícitamente la semántica para wffs de la forma $\exists v\varphi$. La idea básica es

$\exists v\varphi$ es cierto [relativa a algunos de fijación del dominio y algunas ofrecen una interpretación de la no-lógica de vocabulario, por supuesto] si hay algún objeto $o$ en el dominio tal que $\varphi$ sale true cuando el libre apariciones de $v$ $\varphi$ son tratados como parámetros denotando $o$.

Si no hay apariciones libres de $v$ $\varphi$ esto es trivialmente equivalente a: $\exists v\varphi$ es cierto iff $\varphi$ es cierto. Así, en el ejemplo dado, $\exists x\exists xPx$ es cierto sólo cuando $\exists xPx$ es cierto.