¿Existe un modelo contable transitivo que satisfaga el mismo conjunto de sentencias de primer orden que $V$ ?

Question

Probablemente sea una pregunta muy sencilla, pero me estoy haciendo un lío con ella.

Todos estamos familiarizados con el Teorema de Reflexión, el Teorema de Lowenheim-Skolem y el Lemma de Colapso de Mostowski para obtener modelos contables transitivos de fragmentos finitos de ZFC. Se toma un fragmento finito $\Gamma$ Utilizando el teorema de la reflexión se obtiene que $\Gamma$ se mantiene en algunos $V_\kappa$ Skolemise $V_\kappa$ y luego colapsar a un ctm.

Mi pregunta. ¿Existe (o podría existir) un modelo contable transitivo que satisfaga las mismas verdades de primer orden que $V$ ? Obviamente, por Tarski, tal modelo contable transitivo no es definible de primer orden .

Una ruta posible:

Supongamos que la reflexión completa de segundo orden es cierta para $V$ . Sea $A$ sea un parámetro de segundo orden que contenga un testigo para cada oración sin parámetros de primer orden $ZFC$ verdadero en $V$ . A continuación, refleja la frase $x \in A$ Skolemise y Collapse como de costumbre (creo que me estoy pasando de la raya).

Answer 1

Bien. Podría haberlo, o podría no haberlo.

Si no hay modelos transitivos, la respuesta es negativa. Pero podría ser positiva, y de hecho sin aumentar por la noche la fuerza de consistencia de $\sf ZFC$ .

Aumentamos el lenguaje de $\sf ZFC$ añadiendo un símbolo constante $M$ y añadimos los siguientes axiomas:

1. $M$ es contable y transitivo.
2. Por cada $\varphi$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos (sin $M$ es decir), $\varphi\leftrightarrow\varphi^M$ .

Si $\sf ZFC$ es consistente, entonces cualquier fragmento finito de esta teoría es consistente debido al teorema de la reflexión. Basta con encontrar un $\alpha$ tal que $V_\alpha$ refleja lo que quieras, y encuentra un modelo contable transitivo equivalente elemental.

Si $V$ satisface esta teoría, entonces $M$ es un modelo contable transitivo y $\varphi\leftrightarrow\varphi^M$ aguanta allí. Así que $M$ es de hecho un modelo contable que es equivalente elemental a $V$ .

(Todo esto se debe a Feferman).