Derivando el parámetro de desaceleración de un universo cuya densidad está dominada por la materia

Question

Suponiendo que la densidad del universo está dominada por la materia, de modo que$\rho = \rho_m$, ¿cómo puede mostrarse hoy que el parámetro de desaceleración es$q_0 = \frac{\Omega_m}{2} - \Omega_{\Lambda}$?

La ecuación de aceleración; $\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho + \frac{3p}{c^2}) + \frac{\Lambda}{3}$,

la ecuación de continuidad / fluidos; $\dot{\rho}=-3H(\rho+\frac{p}{c^2})$,

y la ecuación de Friedmann$H^2=(\frac{\dot{a}}{a})^2=\frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}$ son necesarias hasta donde puedo ver, así como$q=\frac{-\ddot{a}a}{\dot{a}^2}$.

$\rho_\Lambda = \frac{\Lambda}{8\pi G}$, y$p=-\rho_\Lambda c^2$ ya que la materia no contribuye a$p$. Simplemente no puedo manejarlo.

¡Gracias!

Answer 1

Comience la definición del parámetro de desaceleración:

$$ \begin{align} q_o &= -\frac{\ddot{a}a}{\dot{a}^2} \\ &= -\frac{\ddot{a}}{a}\left(\frac{a}{\dot{a}}\right)^2 \\ &= -\frac{\ddot{a}}{a}\frac{1}{H^2} \\ &= \left( \frac{4\pi G}{3}(\rho + \frac{3p}{c^2}) - \frac{\Lambda}{3} \right) \frac{1}{H^2}\\ \end {align} $$

Estamos asumiendo que solo la materia está presente, por lo que$\rho=\rho_m$, y asumimos que la materia no tiene presión,$p=0$. Entonces obtenemos:

PS

Y ahora solo es cuestión de usar la definición de$$ q_0 = \frac{4\pi G}{3H^2}\rho_m - \frac{\Lambda}{3H^2}$:

PS

PS