¿Por qué ' t $d(x_n,x_{n+1})\rightarrow 0$ $n\rightarrow\infty$ implica ${x_n}$ es de Cauchy?

Question

¿Qué es un ejemplo de una secuencia de $\mathbb R$ con esta propiedad que no es de Cauchy?

Answer 1

Answer 2

El ejemplo estándar es la secuencia $(s_n)$de sumas parciales de la serie armónica. Formalmente, $$s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.$ $

Tenga en cuenta que $d(s_n,s_{n+1})=\frac{1}{n+1}$. Está claro que $d(s_n, s_{n+1})\to 0$ $n\to\infty$.

Pero la secuencia $(s_n)$ no es de Cauchy. Para cualquier $m$, podemos encontrar $n$ tal que $d(s_m,s_n)$ es arbitrariamente grande. Esto es porque la secuencia $(s_n)$ diverge a infinito. Omitimos la prueba, ya que probablemente ya han visto una prueba que $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ diverge.

Answer 3

Sea $$ s_ {n}: = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}. $$ Entonces $$ s_ {n+1}-s_ {n} = \frac{1}{n+1} \to 0 $$ as $n\to \infty$. Sin embargo, esta secuencia no es Cauchy, en cuanto a cualquier $\varepsilon > 0$, no hay $N$ tal que $ |s_ {m}-s_ {n} | < \varepsilon $ % todos $n,m\ge N$. De hecho, $$ |s_ de \lim_{m\to\infty} {m}-s_ {n} | = \infty, $$ para cualquier $n$.

El cuantificador "para todos" en $m$ $n$ es lo que confunde a personas sobre secuencias de Cauchy.

Answer 4

Otro ejemplo, en la línea con la métrica habitual es $x_n = \sqrt{n}$.