Galois cíclico del grupo de orden par y el discriminante.

Question

Estoy atascado en el siguiente problema:

Sea K un campo de característica $\neq 2$ $f\in K[X]$ un separables polinomio irreducible con raíces $\alpha_1,\ldots \alpha_n$ en la división de campo de $L$$f$$K$. El grupo de Galois de $f$ es cíclico de orden. Muestran que el discriminante $\Delta=\prod_{i<j}(\alpha_i-\alpha_j)^2$ no tiene una raíz cuadrada en $K$.

Para mostrar que el discriminante no tiene una raíz cuadrada en $K$ es equivalente a mostrar que el grupo de Galois (considerado como un subgrupo de $S_n$) contiene una permutación impar (en cuyo caso no soluciona $\prod_{i<j} (\alpha_i-\alpha_j)$). También esto sólo puede suceder si el generador del grupo de Galois es impar (desde $\operatorname{sgn}$ es un grupo homomorphism). La única otra cosa que sé es que el grupo de Galois actúa transitivamente sobre las raíces desde $f$ es irreductible. Las sugerencias son muy apreciadas.

Answer 1

Ya casi estás ahí.

Deje que$\sigma\in S_n$ sea un generador del grupo de Galois$G$ (visto como que actúa en el conjunto de raíces). Escriba$\sigma$ como un producto de ciclos de separación.

1. Demuestre que cualquier ciclo de$\sigma$ forma una órbita de$G$.
2. Demuestre que$\sigma$ debe ser un ciclo$n$.
3. Aplica lo que sabes.