Una pregunta acerca de una doble serie.

Question

Deje $\{a_{mn}\}$ ser un doble de la serie, donde $a_{mn}>0$ todos los $m,n\in\Bbb{N}$. Si $\sum\limits_{i=1}^\infty{a_{ik}}$ es finita para todas las $k\in\Bbb{N}$ $\sum\limits_{j=1}^\infty{a_{hj}}$ es finita para todas las $j\in\Bbb{N}$,$\sum\limits_{i=1}^\infty \sum\limits_{j=1}^\infty{a_{ij}}=\sum\limits_{j=1}^\infty\sum\limits_{i=1}^\infty{a_{ij}}$.

1. Es la declaración de arriba verdad?

2. Si es así, ¿cómo se hace la prueba?

Answer 1

En realidad, para no negativo secuencia $\{a_{mn}\}$, siempre tenemos $$\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty a_{mn}=\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty a_{mn}.$$

Esto puede ser demostrado por la monotonía teorema de convergencia. Tenga en cuenta que ambas partes podrían ser $+\infty$.

Para la secuencia general $\{a_{mn}\}$ si $\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty|a_{mn}|<\infty$, luego $$\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty a_{mn}=\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty a_{mn}.$$

Esto puede ser demostrado por el Teorema de Fubini o Dominada de Lebesgue Teorema de Convergencia.

Answer 2

Si una doble serie es absolutamente convergente, es también convergente; por otra parte, de cualquiera de las series obtenidas mediante la reordenación de sus términos también converge, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Double_series