Norma de un funcional en la plaza de la integración armónica de funciones

Question

Vamos a H el espacio de Hilbert de cuadrado integrable (real) funciones armónicas en el disco unidad del plano complejo. Quiero encontrar la norma de la lineal funcional $$h\mapsto h_x(0)$$ Aquí está la prueba de que este funcional, es acotada.

La derivada parcial $\frac{\partial h}{\partial x}(z)$ también es armónico, por lo tanto, por el valor de la media propery y Verde del teorema tenemos $$\frac{\partial h}{\partial x}(0)=\frac{1}{\pi r^2}\int_{D(0,r)} \frac{\partial h}{\partial x}(x,y)dxdy= \frac{1}{\pi r^2} \int_{\partial D(0,r)}hdy$$ $$= \frac{1}{\pi r^2} \int_0^{2\pi} h(re^{it})r \cos tdt$$ Esto implica $$r^2|\frac{\partial h}{\partial x}(0)|\leq \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} |h(re^{it})|rdt$$ y la integración de $0$ $R$rendimientos $$\frac{R^3}{3}|\frac{\partial h}{\partial x}(0)|\leq \frac{1}{\pi}\int_{D(0,R)}|h(w)|dA(w)$$ Por Cauchy Schwarz tenemos $$|\frac{\partial h}{\partial x}(0)|\leq\frac{3}{\pi R^3} (\pi R^2)^{1/2} \int_{D(0,R)} |h(w)|^2dA(w)=\frac{3}{\sqrt{\pi}R^2}\int_{\mathbb D}|h(w)|^2dA(w)$$

Dejando $R\to 1$ da que el operador de la norma es $\leq 3/\sqrt{\pi}$. Sin embargo, esta no es la mejor constante. He intentado armónica de funciones de la forma $ax+by$ han $L^2$ norma $(a^2+b^2)^{1/2} \sqrt{\pi}/2$. En particular, para $h(z)=x$ obtenemos $\|h\|_2= \sqrt\pi/2$ .

Answer 1

Con un mejor manejo podemos obtener la mejor obligado:

El uso del Verde y teorema del valor medio de la propiedad ya hemos demostrado que $$|h_x(0)| \leq \frac{1}{\pi r} \int_{0}^{2\pi } |h(re^{it})| |\cos t|dt$$ Si aplicamos ahora Cauchy Schwarz tenemos $$|h_x(0)|^2\leq \frac{1}{\pi^2 r^2} \int_{0}^{2\pi} |h(re^{it})|^2dt \int_{0}^{{2\pi}} \cos^2t dt = \frac{1}{\pi r^2} \int_{0}^{2\pi} |h(re^{it})|^2dt$$ Por lo tanto $$r^3 |h_x(0)|^2 \leq\frac{1}{\pi } \int_{0}^{2\pi} |h(re^{it})|^2rdt$$ y la integración de $0$ $R$obtenemos $$\frac{R^4}{4} |h_x(0)|^2 \leq \frac{1}{\pi} \int_{D(0,R)} |h(re^{it})|^2dt \leq \frac{1}{\pi} \|h\|_2^2$$ Finalmente, dejando $R\to 1$ y tomando raíces $$|h_x(0)| \leq \frac{2}{\sqrt{\pi}}\|h\|_2$$ cual es la mejor constante.