Demostrar que $A$ está delimitado operador en $\ell^p$ y encontrar $\| A\|$

Question

Para que un $p \ge 1$ es con $$A(x_n)_{n=1}^{\infty}=\left(\frac{1}{m}\sum_{n=1}^{m}\frac{x_n}{\sqrt{n}}\right)_{m=1}^{\infty}$$ defined bounded linear operator $A:\ell^p \a \ell^p$? Find norm $\|\|.$

En primer lugar, tengo que mostrar que si $x = (x_n)_{n=1}^{\infty} \in \ell^p$ $\displaystyle y=(y_m)_{m=1}^{\infty} \stackrel{\text{def}}{=}\left(\frac{1}{m}\sum_{n=1}^{m}\frac{x_n}{\sqrt{n}}\right)_{m=1}^{\infty} \in \ell^p$ $\displaystyle\sqrt[p]{\sum_{m=1}^{\infty}|y_m|^p} < +\infty.$

Todos los derechos, $$\begin{align*} |y_m|=\left|\frac{1}{m}\sum_{n=1}^{m}\frac{x_n}{\sqrt{n}}\right|&\leq\frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} \frac{|x_n|}{\sqrt{n}}\\ &\stackrel{\star}{\leq}\frac{1}{m} \sqrt[p]{\sum_{n=1}^{m}|x_n|^p} \sqrt[q]{\sum_{n=1}^{m} n^{-q/2}} \\ &\leq \frac{\| x \|_p}{m}\sqrt[q]{\sum_{n=1}^{m} n^{-q/2}}.\end{align*}$$

Por lo $$\begin{align*} \sum_{m=1}^{\infty} |y_m|^p &\leq \sum_{m=1}^{\infty} \left|\frac{\| x \|_p}{m}\sqrt[q]{\sum_{n=1}^{m} n^{-q/2}}\right|^p\\&=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^p} \| x\|^p_p \left(\sum_{n=1}^{m} n^{-q/2}\right)^{p/q}\\ &\leq \|x\|^p_p \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^p} \left(\sum_{n=1}^{\infty} n^{-q/2}\right)^{p/q} \end{align*}$$

Si veo bien, la última suma es convergente para $q/2 >1 \iff q>2$ $p>1$ (pero con la condición de $1/p + 1/q =1$).

Creo que mi estimación es demasiado fuerte.

Y nos encontramos con que $$\| A \| \leq \sqrt[p]{\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^p} \left(\sum_{n=1}^{\infty} n^{-q/2}\right)^{p/q}}$$

Pero para la parte (si mi aproximación es bastante buena) por $\geq$ no tengo idea (para ser honesto, he utilizado la desigualdad de Hölder, por lo que queremos $x_n = c \frac{1}{\sqrt{n}}$, lo que nos dará algo divergentes me lo creo).

$\star$ - una duda: he utilizado la desigualdad de Hölder, pero que sólo funciona para $p,q >1$, pero en mi pregunta que nos tenemos $p \geq 1$, así que, básicamente, tengo que trabajar el caso de $p=1$ como independiente?

Answer 1

En su última estimación, cambió $m$$\infty$, y no había ninguna razón para que paso, como ya había un límite superior.

Una manera de obtener un límite inferior para la norma de $A$ es como sigue. Fix $k\in\mathbb N$. Vamos $$ x_n=\begin{cases}\frac{n^{-\frac1{2(p-1)}}}{\left(\sum_{n=1}^kn^{-q/2}\right)^{1/p}},&\ \mbox{ if } n\leq k\\ \ \phantom\int\\ 0,&\ \mbox{ if }n>k \end{casos} $$ Entonces $$ \|Ax\|_p^p=\sum_{m=1}^\infty|(Ax)_m|^p\geq\sum_{m=1}^k|(Ax)_m|^p=\sum_{m=1}^k\left|\frac1m\sum_{n=1}^m\frac1{\sqrt n}\frac{n^{-\frac1{2(p-1)}}}{\left(\sum_{n=1}^kn^{-q/2}\right)^{1/p}}\right|^p\\ =\sum_{m=1}^k\left|\frac1m\sum_{n=1}^m\frac{n^{-q/2}}{\left(\sum_{n=1}^kn^{-q/2}\right)^{1/p}}\right|^p=\sum_{m=1}^k\frac1{m^p}\,\left(\sum_{n=1}^mn^{-q/2}\right)^{p-1}\\ =\sum_{m=1}^k\frac1{m^p}\,\left(\sum_{n=1}^mn^{-q/2}\right)^{p/q}. $$ Como podemos hacer esto para cualquier $k\in\mathbb N$, $$ \|\|=\Left(\sum_{m=1}^\infty\frac1{m^p}\,\left(\sum_{n=1}^mn^{-q/2}\right)^{p/q}\right)^{1/p}, $$ como ya tenía el límite superior.

Answer 2

Fuerza bruta y de Hölder nos dan, con $\frac1p+\frac1q=1$, $$ \begin{align} \sum_{m=1}^\infty\left|\frac1m\sum_{n=1}^m\frac{x_n}{\sqrt{n}}\right|^p &\le\sum_{m=1}^\infty\frac1{m^p}\left(\sum_{n=1}^m\frac{|x_n|}{\sqrt{n}}\right)^p\\ &\le\sum_{m=1}^\infty\frac1{m^p}\|x_n\|_p^p\left(\sum_{n=1}^m\frac1{n^{q/2}}\right)^{p/q}\\ &\le\|x_n\|_p^p\sum_{m=1}^\infty\frac1{m^p}\left(2\sqrt{m}\right)^{p-1}\tag{%#%#%}\\ &=2^{p-1}\|x_n\|_p^p\zeta\left(\frac{p+1}{2}\right) \end{align} $$ Por lo tanto, $q\ge1$ está delimitado por $A$ con la norma no mayor de $p\gt1$.

Para $2^{1-1/p}\zeta\left(\frac{p+1}{2}\right)^{1/p}\le2\,\zeta\left(\frac{p+1}{2}\right)$, $$ \frac1m\sum_{n=1}^m\frac{x_n}{\sqrt{n}}=\frac1m $$ Por lo tanto, no podemos tener ese $(x_n)=(1,0,0,\dots)\in\ell^1$ está delimitada en $A$.