Dual cerrado de Poincaré de la frontera de una variedad cerrada.

Question

Dejemos que $S$ sea el límite de un colector cerrado $T$ incrustado en $M$ . I tengo que demostrar que el dual de Poincaré de $S$ es $0$ .

Supongamos que $dim(M)=n,dim(T)=k$ con $k\le n$ . Por lo tanto, $dim(S)=k-1$ .

Dejemos que $[\eta_S]\in H_{DR}^{n-(k-1)}(M)$ sea el dual de Poincaré (cerrado) de $S$ .

Tenemos $i:S\to M$ incrustación. Denotamos $\omega|_S:=i^*\omega$ .

Por cada $\omega\in\Omega_c^{k-1}(M)$

$$ \int_S\omega|_S=\int_{\partial T}\omega|_S=\int_Td\omega|_S=0. $$

¿Cómo puedo concluir?

Answer 1

Este es un argumento topológico:

la inclusión $i:S\hookrightarrow M$ factores a través de $T$ por lo tanto, por funtorialidad $i_*: H_*S \to H_*T \to H_*M$ . El primer mapa mapea la clase fundamental a cero. En particular, la clase de homología que $S$ representa en $M$ es trivial.

Obsérvese que el límite de una variedad es nulo, ya sea por la teoría de los estratificados, o por la secuencia exacta larga del par $H_k (T,\partial) \to H_{k-1}(\partial) \to H_{k-1} T$ , donde el primer mapa mapea la clase fundamental a la clase fundamental (que luego se mapea a cero por exactitud).