¿Por qué es el caso que, en general,$\int X d\delta_k(w) = X(k) $?? Me parece que no puede trabajar, pero me parece un hecho útil?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí hay dos métodos de cómo mostrarlo. Alguien me corrija si he cometido algunos errores.
Método 1. Esto puede ser demostrado en los pasos, a partir de las funciones simples y pasar a funciones medibles. (Tenga en cuenta que puesto que todo el powerset es la colección de $\delta_{k}$medible de conjuntos, entonces cada función es $\delta_{k}$-medible.)
Supongamos primero que $X$ es una función simple, y deje $\sum_{i=1}^{n}a_{i}\chi_{A_{i}}$ ser normal de la representación. Entonces \begin{align*} \int X\,d\delta_{k}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\int \chi_{A_{i}}\,d\delta_{k}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\delta_{k}(A_{i})=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\chi_{A_{i}}(k)=X(k), \end{align*} desde $\delta_{k}(A_{i})=1$ si $k\in A_{i}$ $0$ lo contrario, que de hecho es la misma que la función de indicador de $A_{i}$ a punto de $k$ (que es de hecho el punto clave para la notificación).
Supongamos entonces que $X$ es no negativo y medibles. Ahora existe una secuencia no decreciente de funciones simples $(\psi_{i})_{i=1}^{\infty}$, de modo que $\psi_{i}\to X$ pointwise. El uso de la monotonía teorema de convergencia $(*)$, y que el paso anterior $(**)$ obtenemos: \begin{align*} \int X\,d\delta_{k} &=\int \lim_{i\to\infty}\psi_{i}\,d\delta_{k}\overset{(*)}{=}\lim_{i\to\infty}\int \psi_{i}\,d\delta_{k}\overset{(**)}{=}\lim_{i\to\infty} \psi_{i}(k)=X(k). \end{align*}
El resultado, finalmente, de la siguiente manera mediante la composición de cualquier función medible $X$$X=X^{+}-X^{-}$, e invocando el paso anterior para ambos.
Método 2: Utilizar el hecho de que para$\delta_{k}$ -.e. tenemos $X=X(k)$ e integrar.
