Puede contráctiles subespacio ser ignorado/derrumbó cuando computing $\pi_n$ o $H_n$?

Question

Puede contráctiles subespacio ser ignorado/derrumbó cuando computing $\pi_n$ o $H_n$?

Motivación: esta tomé por sentado por un largo tiempo, como pensaba el colapso de la contráctiles subespacio no cambia el homotopy tipo. Ahora parece que esto sólo es cierto para un CW par...

Answer 1

Estás en lo correcto. Un ejemplo interesante de este tipo de comportamiento consiste en tomar dos copias de la Hawaiana Pendiente de espacio y la conexión de sus basepoints por un segmento de línea. La contratación del segmento medio le da el estándar de Hawai Pendientes. Sin embargo, esta contracción no es un homotopy equivalencia! El fundamental de los grupos son diferentes!

Answer 2

Sí, usted necesita una hipótesis de como ser un CW par. Una condición más general que podría imponer es que la inclusión de la contráctiles subespacio es un cofibration.

Para un ejemplo de por qué esto es necesario, considerar la $X = S^1$$A = X\setminus\{\ast\}$. A continuación, el colapso de Una le da dos puntos de un espacio que está contráctiles. Hay varias maneras de ver la contractibilidad de este espacio, es que en este espacio es la no-Hausdorff cono sobre un punto.

Answer 3

Permítanme señalar un hecho general: si la inclusión $A \hookrightarrow X$ ($A$ un subespacio cerrado) es un cofibration, y $A$ es contráctiles, a continuación, el mapa de $X \to X/A$ es un homotopy de equivalencia. Ver Corolario 5.13 en el capítulo 1 de Whitehead "Elementos de homotopy la teoría".