Encontrar un polinomio mónico sobre $\mathbb{Q}$ cuyo grupo de Galois es $V_4$

Question

Necesito encontrar un polinomio sobre $\mathbb{Q}$ cuyo grupo de Galois es $V_4=\langle(12)(34),(13)(24)\rangle\subset S_4$ . Puedo encontrar ejemplos de tales polinomios, pero me pregunto si se puede construir un polinomio así a mano.

¿Alguien puede aportar alguna idea? Gracias.

Answer 1

¿Qué pasa con $\,f(x)=(x^2-2)(x^2-3)\in\Bbb Q[x]\,$ ? De hecho, cualquier otra biquadrática de esta forma $\;(x^2-a)(x^2-b)\;$ funciona, cuando ni $\,a,b,ab\,$ es un cuadrado.

Answer 2

Pruebe $x^4 - 10x^2 +1$ que como campo de división de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ y grupo de Galois isomorfo a $V_4$ .