Si dos funciones son tanto el aumento y la igualdad en casi todas partes tienen las mismas discontinua de puntos?

Question

Supongamos que $f,g$ son ambas funciones de $[0,1]\rightarrow[0,1]$.
$f$ $g$ ambos están en aumento.
$f=g$ en casi todas partes.
Pregunta: Si $f$ $g$ tienen el mismo discontinua de puntos?

Mi conjetura es que sí. Que yo sepa, una forma monotónica ha countably muchos puntos discontinuos. Si $f(x)$ es discontinua en x=a, sino $g(x)$ es continua en a $a$, alrededor de $a$ debe existir un pequeño intervalo en el que $f\neq g$. Por lo $f$ $g$ no es igual en casi todas partes.

Es mi conjetura correcta?

Answer 1

Estás en lo correcto. Para añadir más detalle el argumento:

Supongamos $f$ es continua en a $c$ pero $g$ es discontinuo, no con el valor de $g(c) = g(c+) = f(c).$ WLOG supongamos $g(c+) > g(c-).$ existe $\delta$ tal que $f(x) > g(c-) \geqslant g(x)$ todos los $x \in (c-\delta,c)$ contradiciendo $f = g$.e.