Demostrar que $\det(A+B)\det(A-B)=0$

Question

Dejemos que $A,B$ ser dos $n\times n$ matrices con entradas reales, donde $n$ es impar, tal que $A\cdot A^{t}=I_n$ y $B\cdot B^{t}=I_n$ . Demostrar que $$\det(A+B)\det(A-B)=0$$ Es evidente que $A^{-1}=A^{t}$ y $B^{-1}=B^{t}$ Así que $\det A, \det B = \pm 1$ . Entonces traté de escribir $\det(A+B)\det(A-B)=\det(A^2-AB+BA-B^2)$ pero no conseguí nada útil.

Answer 1

$$\begin{aligned}\det(A+B)\det(A-B)&=\det(A+B)\det(A^T-B^T) \\ &= \det(AA^T+BA^T-AB^T-BB^T)\\&=\det(BA^T-AB^T)\end{aligned}$$

Ahora, utilice la suposición de que $n$ es impar y el hecho de que $C=BA^T-AB^T$ es simétrica: $C=-C^T$ .

Answer 2

Sabemos que... $(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2$ Así que $det[(A+B)(A-B)]=d(A^2-AB+BA-B^2)≠0 $ en general. Lo cual es posible cuando $A,B$ sea la matriz involuntaria. Es decir $A=A^{-1},B=B^{-1}$ entonces $A$ y $B$ son conmutativos, es decir $AB=BA$ y $A^2=I_n,B^2=I_n$ . Por lo tanto, en este caso... $det[(A+B)(A-B)]=det(A+B)det(A-B)=det(I_n-AB+AB-I_n)=0$ . Si me equivoco por favor dígame.