si la curvatura es constante y positiva, entonces está en la circunferencia

Question

Estoy tratando de probar que si $ \alpha (t)=(x(t),y(t))$ es un $C^2$ curva regular $( \alpha ' \neq0 )$ con una curvatura constante y positiva, entonces $ \alpha $ está en la circunferencia y si $ \alpha $ es la circunferencia, entonces su curvatura es constante.

He resuelto la segunda parte desde $ \alpha $ es la circunferencia, entonces $ \alpha (t)=(r \cos\theta ,r \sin\theta )$ así que $| \alpha '(t)|=r$ Necesito ayuda en la primera parte.

Muchas gracias.

Answer 1

Aquí están mis consejos, siguiendo el argumento dado por John Oprea en su texto "Geometría diferencial y sus aplicaciones". Si todavía estás confundido, el texto de Oprea tiene una prueba completa de este problema, pero trata de ver si puedes resolverlo por ti mismo primero dadas estas pistas.

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $ \alpha $ es una curva de velocidad unitaria.

Supongamos que $ \alpha $ es parte de un círculo. Entonces, ya que cada punto en $ \alpha $ es una distancia fija $r$ lejos de algún punto $p$ podemos escribir:

$( \alpha (t) - p) \cdot ( \alpha (t) - p) = r^{2}$

Diferenciar esta expresión varias veces con respecto a $t$ . Mira si no puedes usar las expresiones que obtienes para mostrar que $ \kappa \neq 0$ es decir.., $ \kappa > 0$ . Entonces mira si no puedes conseguir una expresión que implique $ \frac {d \kappa }{ds}$ y utilizar esta expresión para concluir $ \frac {d \kappa }{ds}$ es 0, es decir, $ \kappa $ es constante.

Ahora supongamos $ \alpha $ tiene una curvatura constante positiva. Mira si no puedes mostrar que la curva $ \gamma (t) = \alpha (t) + \frac {1}{ \kappa }N$ es en realidad constante, es decir, un punto $p$ . Desde aquí, mira si no puedes usar esto para mostrar que $ \alpha $ está a una distancia fija de $p$ usando lo que sabes sobre $N$ .