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Son proyectivas de los módulos a través exterior álgebras de espacios vectoriales necesariamente libre?

Deje $E(V)$ ser el exterior de álgebra de un espacio vectorial $V$ (también he visto esto denota $\Lambda(V)$).Es cierto que cualquier proyectiva $E(V)$-módulo es necesariamente libre? Si es más fácil, es por lo menos cierto si asumimos $V$ tiene dimensión finita?

Esto apareció en mi cabeza, por alguna razón, mientras que yo estaba experimentando con proyectivos complejos. Yo no podría decir de cualquier manera, pero espero que no vergonzosamente simple. Gracias.

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Nir Puntos 136

Sí, si $V$ es un espacio vectorial, cada proyectiva $E(V)$-(derecho) módulo es libre, por $E(V)$ es un anillo local y (derecha) proyectivas de módulos sobre un anillo local son libres de acuerdo con un teorema de Kaplansky.

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Desde que Martin le pregunta, aquí está la razón por la $E(V)$ es local.

Consideremos el subespacio vectorial $\mathfrak m=\wedge ^1V\oplus \wedge ^2V\oplus...\subset E(V)$
Es un dos caras ideal, pero también la única de máxima ideal de derecho de la $E(V)$.
De hecho, todas las $x\in E(V)\setminus \mathfrak m$ es invertible, ya que puede ser escrito como $x=q+m$$q\in k^*$$m\in \mathfrak m $, y cada elemento de a $\mathfrak m$ es nilpotent .
Desde $E(V)$ tiene un único máximo ideal de derecho, es local, por definición.

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