Una pregunta difícil sobre funciones meromorfas - Conway

Question

Esta es una pregunta que encontré en el libro de JB Conways.

Dejemos que $f$ sea una función meromorfa en el disco perforado $D_r(z_0)$ \ { $z_0$ }. Supongamos que existe una secuencia { $p_n$ } de polos de $f$ en $D_r(z_0)$ \ { $z_0$ } tal que $\lim_{n\rightarrow \infty}p_n=z_0$ . Demuestre que para cada $w\in \mathbb{C}$ existe una secuencia { $z_n$ } en $D_r(z_0)$ \ { $z_0$ } tal que $\lim_{n\rightarrow \infty}z_n=z_0$ y $\lim_{n\rightarrow \infty}f(z_n)=w$

Esta pregunta me parece muy desafiante y siento no haber mostrado ningún esfuerzo ya que no he podido averiguar nada. Espero que alguien pueda darme una pista para poder trabajar en ella y obtener la respuesta. Gracias.

Answer 1

No estoy seguro de si esto se deduce directamente del teorema de Casorati-Weierstraß, pero creo que se puede demostrar de forma similar.

La declaración

Para cada $w\in \mathbb{C}$ existe una secuencia { $z_n$ } en $D_r(z_0)$ \ { $z_0$ } tal que $\lim_{n\rightarrow \infty}z_n=z_0$ y $\lim_{n\rightarrow \infty}f(z_n)=w$

puede formularse de forma equivalente como

Para cada $w\in \mathbb{C}$ y para cada $\varepsilon > 0$ hay un $z \in D_r(z_0) \setminus {z_0}$ con $\left| z-z_0 \right| < \varepsilon $ y $\left| f(z) - w_0 \right| < \varepsilon $ .

Supongamos que se trata de falso . Entonces tenemos

Hay una $w_0 \in \mathbb C$ y un $\varepsilon_0 > 0$ tal que $\left| f(z) - w_0 \right| \ge \varepsilon_0 $ para todos $z \in D_r(z_0) \setminus {z_0}$ con $\left | z-z_0 \right| < \varepsilon_0 $ .

Entonces la función $g := 1/(f - w_0)$ es holomorfo y está acotado en un disco perforado con centro $z_0$ y por lo tanto tiene una singularidad removible en $z_0$ .

Por lo tanto, $f = w_0 + 1/g$ tiene una extensión meromorfa a $U_{\varepsilon_0}(z_0)$ . Esto contradice la suposición de que los polos de $f$ se acumulan en $z_0$ .