Definición particular de e

Question

Demuéstralo, $$e=\lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x $$

Es el mismo número que satisface, $$\lim_{h\to0} \frac{e^{h}-1}{h} = 1 \tag{*}$$

No hace falta que lo hagas si te resulta demasiado engorroso, pero (*) se utiliza para hallar las derivadas de funciones exponenciales reales. Sé que las definiciones no se deben probar, pero estoy buscando alguna derivación o intuición para la afirmación de que (*) es una definición legítima para e, y además, una prueba de que el límite en (*) existe.

Answer 1

Para la implicación hacia delante, dado que $e = \lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^x$ tenemos para $n \in \mathbb{N}$

$$e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \left(1 + \frac{1}{n} \right) = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1}. $$

Es sencillo demostrar utilizando la desigualdad de Bernoulli que $(1+1/n)^n$ aumenta y $(1 + 1/n)^{n+1}$ disminuye.

Por lo tanto,

$$\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \leqslant e \leqslant \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1},$$

y

$$1 \leqslant \frac{e^{1/n}-1}{1/n} \leqslant n\left[\left(1 + \frac{1}{n} \right)\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{1/n}- 1\right] = (n+1)\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{1/n}- n .$$

Utilizando la desigualdad de Bernoulli tenemos

$$(n+1)\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{1/n} - n \leqslant (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\frac{1}{n}\right) - n = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}.$$

Así,

$$1 \leqslant \frac{e^{1/n}-1}{1/n} \leqslant 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}.$$

Aplicando el teorema de squeeze vemos que

$$\tag{*}\lim_{n \to \infty} \frac{e^{1/n}-1}{1/n} = 1.$$

Continuidad y monotonicidad de la función exponencial $x \mapsto e^x$ puede utilizarse para demostrar que (*) implica

$$\lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h} = 1.$$

Answer 2

Consideremos una secuencia $a_n$ que satisfaga

$$\frac{(a_n)^{1/n}-1}{1/n}=1$$

De ello se deduce que

$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$

Y como $n\to\infty$ ...

(un poco de magia monótona puede estar en orden)

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

Me gusta el siguiente procedimiento porque muestra cómo elegir el ' mejor ' base de logaritmos $\ds{\mrm{a}}$ : Por ' mejor Me refiero a la más simple $\ds{\log}$ -expresión derivada.

\begin{align} \totald{\log_{\,\mrm{a}}\pars{x}}{x} & \stackrel{\mrm{def.}}{\equiv} \lim_{h \to 0}{\log_{\,\mrm{a}}\pars{x + h} - \log_{\,\mrm{a}}\pars{x} \over h} = \lim_{h \to 0}{1 \over h}\log_{\,\mrm{a}}\pars{1 + {h \over x}} \\[5mm] & = {1 \over x}\log_{\,\mrm{a}}\pars{\lim_{h \to 0}\bracks{1 + {h \over x}}^{x/h}} \end{align} La ' más sencillo $\ds{\,\mrm{a}}$ -elija viene dada por: $$ \mrm{a} = \lim_{h \to 0}\pars{1 + {h \over x}}^{x/h} = \lim_{n \to \pm\infty}\pars{1 + {1 \over n}}^{n} = \color{#f00}{\expo{}} \quad\mbox{which yields}\quad \totald{\log_{\,\mrm{a}}\pars{x}}{x} = {1 \over x} $$