Demostrando el más partición de los puntos que los más pequeños de la integral de Darboux obtiene

Question

Estoy tratando de demostrar formalmente este:

Deje $P=\{a=x_0<x_1<...<x_n=b\}$ ser una partición de $[a,b]$ que se divide $[a,b]$ a $n$ igualdad de sub intervalos así:

$x_i=a+\frac{i}{n}(b-a)\ \ \forall i\in\{0,1,...,n\}$

si:

$|U_{f,p}-L_{f,p}|<\epsilon\ \ $ (donde $U_{f,p},L_{f,p}$ son Darboux superior\inferior sumas)

Entonces cualquier partición $\tilde{P}$ $[a,b]$ $\lambda(\tilde{P})<\lambda(P)$ (donde $\lambda(P)$ es la más larga de la sub intervalo en $P$)

también le dará:

$|U_{f,\tilde{p}}-L_{f,\tilde{p}}|<\epsilon\ \ $

Esto tiene sentido, ya que cualquier distintos partición debe tener más puntos de división y que harían $|U_{f,p}-L_{f,p}|$ más pequeño aún, pero estoy teniendo problemas para mostrarlo.

Puede alguien darme alguna sugerencia sobre esto?

Answer 1

La suma inferior de Darboux integral se define como

$$ L_{f,P} = \sum_{x_i \en P} (x_{i+1} - x_i) \inf_{t \in [x_i, x_{i+1}]} f(t) $$

Si subdividimos a un único intervalo en una partición P, dicen [x_0, x_1], en dos subintervalos $[x_0, x_{1/2}], [x_{1/2}, x_1]$, entonces es obvio que tenemos

$$ (x_1 - x_0)\inf_{t \in [x_0, x_1]} f(t) \leq (x_{1/2} - x_0)\inf_{t \in [x_0, x_{1/2}]} f(t) + (x_1 - x_{1/2}) \inf_{t \in [x_{1/2}, x_1]} f(t) $$ desde el infimum a mayor intervalo es necesariamente de no más de infimum más de subinterval.

Obras para la parte superior de Darboux sumas de dinero, y desde la parte superior de Darboux suma es, obviamente, no más pequeño que el inferior de Darboux suma, tomando un fino partición sólo se puede obtener de ellos más cerca unos de otros.

Answer 2

Si $P\subset P'$$|U(P)-L(P)|\geqslant|U(P')-L(P')|$. Pero el hecho de que $\lambda(P)\geqslant\lambda(P')$ no implica que $|U(P)-L(P)|\geqslant|U(P')-L(P')|$.

Para un contraejemplo, considere la función $f$ tal que $f(x)=0$ $0\leqslant x\leqslant\frac12$, $f(x)=6x-3$ si $\frac12\leqslant x\leqslant\frac23$ $f(x)=3-3x$ si $\frac23\leqslant x\leqslant1$, lo $f$ es afín a la interpolación entre los puntos $(0,0)$, $(\frac12,0)$, $(\frac23,1)$ y $(1,0)$. El regular particiones $P=(0,\frac12,1)$ $P'=(0,\frac13,\frac23,1)$ son tales que $\lambda(P)=\frac12\gt\frac13=\lambda(P')$ pero $U(P)=\frac12$, $L(P)=L(P')=0$ y $U(P')=\frac23$ por lo tanto $|U(P)-L(P)|=\frac12\lt\frac23=|U(P')-L(P')|$.

Edit: Si $f$ es monótona y continua, y $P_n$ es la partición regular de $[0,1]$ $n+1\geqslant2$ señala a continuación,$U(P_n)-L(P_n)=\frac1n|f(1)-f(0)|$. En particular, la secuencia de término general $U(P_n)-L(P_n)$ es nonincreasing.