$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}\ \text{donde}\ a_{n} = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{n} & n\mbox{ is even} \\ \frac{-1}{n^2} & n\mbox{ is not even} \end{array} \right.$$
Necesito comprobar si esta serie converge y también converge absolutamente... yo estaba pensando en mirar los elementos y ver un patrón, pero no veo ninguna patrones de... las instrucciones por favor?
Reclamo: Esta serie ¿ no convergen.
Prueba:
Asumir por medio de la contradicción que la serie converge (crédito a @WillR para señalar que necesita para comenzar con este). Luego de la anterior serie es igual a:
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} + \sum\limits_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(2n+1)^2}$$
(Para ver esto, basta con comprobar que funciona para las sumas parciales y tomar el límite; la expresión es significativa si la original de la serie es absolutamente convergente, si la serie original es sólo condicionalmente convergente no tiene sentido; sin embargo ese caso se trata más adelante.)
Sabemos que la serie armónica $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverge. Para una prueba de este hecho, ver https://web.williams.edu/Mathematics/lg5/harmonic.pdf -- es bueno para memorizar este resultado.
Asumir por medio de la contradicción, a continuación, que $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n}$ convergente, digamos, a un valor de $c$.
Entonces tendríamos:
$$c= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$
lo que quiere decir que la serie armónica convergente, lo cual es una contradicción.
El anterior es suficiente para demostrar que su serie no es absolutamente convergente, pero queremos descartar la posibilidad de que pueda ser condicionalmente convergente.
Esto se deduce del hecho de que
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$
es absolutamente convergente, es decir, esto implica que la suma de la larga
$$\sum\limits_{n\ \text{odd}} \frac{1}{n^2}$$ es también finito, que es el mismo número que
$$-\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(2n+1)^2}\right),$$
es decir, la serie es igual a
$$\infty - \sum\limits_{n\ \text{odd}} \frac{1}{n^2} = \infty$$
así que incluso no es condicionalmente convergente.
Deje $b_k$ ser la secuencia de $b_k=\frac{1}{k}$ $c_k$ ser la secuencia donde $c_k=\frac{1}{(2k-1)^2}$. Deje $B_k$ $k$- ésima suma parcial de la serie de $b_k$'s y $C_k$ $k$- ésima suma parcial de la serie de $c_k$'s. Ahora, considere la posibilidad de la suma parcial de la serie $S_{2k}=\frac{1}{2}B_k-C_{k}$. Sabemos que $C_k$ converge como el $p$de la serie a con $p=2$ converge y $B_k$ diverge, ya que es una larga de una serie armónica. Por lo tanto, $$ \lim_{k\rightarrow\infty}S_{2k}=\frac{1}{2}\lim_{k\rightarrow\infty}B_k-\lim_{k\rightarrow\infty}C_k. $$ El primer límite es$\infty$, mientras que el segundo límite es finito. Por lo tanto, la serie diverge.
Esta serie diverge. El subconjunto de términos con la extraña forma del índice de absolutamente convergente la serie (recordemos que $\sum_n n^{-2}$ es absolutamente convergente). El conjunto de incluso el índice de términos y condiciones constituyen un divergentes de la serie. De hecho, $\sum_n n^{-1}$ es el divergentes armónico de la serie. Incluso si usted sólo conservan las condiciones, los seies diverge (usted debe ser capaz de demostrarlo)
Escribimos la suma parcial
$$S_{2n+1}=\sum_{k=1}^{2n+1}a_k=\sum_{k=1}^na_{2k}+\sum_{k=1}^n a_{2k+1}=\frac12\sum_{k=1}^n\frac1k-\sum_{k=1}^n\frac1{(2k+1)^2}=\frac12H_n-v_n$$ donde $(H_n)$ es una secuencia divergente y $(v_n)$ es convergente. Por lo tanto $(S_{2n+1})$ es divergente y, a continuación, el dado de la serie también es divergente.
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