¿cómo puede uno dibujar la línea $d$ en el rectángulo $ABCD$ con solo compasión y una regla cuando $AY=XY=CX$ ( $X$ es la intersección de $AB$ y $d$ , $ Y$ es la intersección de $CD $ y $d$ )
Por cierto: la regla no puede medir nada.
Aquí está la figura cuando se dibuja: 
Dejemos que $a:=\lvert A,B\rvert$ , $b:=\lvert B,C\rvert$ y $x:=\lvert A,Y\rvert$ . Entonces tienes
\begin {align*} (2x-a)^2+b^2 &= x^2 \\ 4x^2-4ax+a^2+b^2 &= x^2 \\ 3x^2-4ax+a^2+b^2 &= 0 \end {align*} \begin {align*} x_{1,2} &= \frac {4a \pm\sqrt {4^2a^2-4 \cdot3\cdot\left (a^2+b^2 \right )}}{2 \cdot 3} = \frac {2a \pm\sqrt {a^2-3b^2}}{3} \end {align*}
Ahora todo lo que tienes que hacer es convertir esta fórmula en una construcción de regla y compás. Aquí hay una posible construcción de este tipo:
Comenzar con el verde parte. Círculos alrededor de $A$ y $D$ con radio $b$ construir $E$ tal que $\triangle AED$ es regular, por lo que tiene altura $\frac12\sqrt3\,b$ . Por lo tanto, $\lvert D,F\rvert=\sqrt3\,b$ .
El azul construcción utiliza esa longitud como $\lvert D,H\rvert$ que es uno de los catetos de un triángulo rectángulo $\triangle DCH$ . La hipotenusa es $a$ . El punto $G$ es el centro de $CD$ En la figura no se incluye su construcción con regla y compás. Sirve como centro de la circunferencia del triángulo rectángulo, por el teorema de Tales. El segundo cateto resultante $CH$ tiene una longitud $\sqrt{a^2-3b^2}$ por el teorema de Pitágoras. La longitud $CK$ es la misma, obtenida por un círculo alrededor de $C$ .
El naranja construcción completan el proceso. $L$ se obtuvo de un círculo alrededor de $D$ a través de $C$ por lo que satisface $\lvert L,C\rvert=2a$ y por lo tanto $\lvert L,K\rvert=2a-\sqrt{a^2-3b^2}$ . $M$ se eligió una distancia arbitraria por encima de $K$ , mientras que $O$ es el doble de esa distancia por debajo. No he incluido la construcción de las líneas verticales paralelas a $BC$ . El resultado $\lvert K,P\rvert=x$ es la distancia necesaria. Se puede utilizar como el radio de un círculo alrededor de $A$ y otro alrededor de $C$ que define $Y$ resp. $X$ .
Ten en cuenta que he optado por restar la raíz cuadrada en lugar de sumarla, pero la otra solución habría sido igualmente válida. También hay que tener en cuenta que esta no es la construcción más corta que da el resultado deseado, ni mucho menos. Si se calcula la insinuación Christain escribió (que es mucho más fácil ahora que amplió su respuesta), se puede obtener una construcción más corta como la que se muestra a continuación. Sin embargo, los pasos anaranjados utilizados anteriormente podrían seguir siendo útiles para hacer una división de una línea en tres partes de igual longitud.
Aquí primero duplico el lado de la clasificación usando un círculo alrededor de $D$ a través de $A$ para obtener el punto $E$ . La línea $EB$ intersecta la diagonal $AC$ en el punto $F$ dividiéndolo en un $2:1$ relación. Hasta aquí, esto refleja las ideas utilizadas en la parte naranja de arriba. Un círculo alrededor de $F$ a través de $C$ da $Y$ (dos opciones) y $G$ , un círculo alrededor de $G$ a través de $A$ entonces da $X$ (debe elegirse para que coincida con $Y$ ).
La ventaja del primer enfoque es que expone algunas ideas generales de cómo se puede convertir un resultado algebraico en geometría. Puedes intentarlo incluso si no has pensado en las ideas necesarias para la construcción más corta.
Una pista:
La línea pasará por el centro $M$ del rectángulo, y se tendrá $|AY|=2|YM|$ .
El lugar de los puntos cuya distancia a $A$ es dos veces mayor que su distancia a $M$ es un círculo "apolíneo" $\gamma$ con el centro en algún lugar de la diagonal $AC$ . Discutiendo sobre los dos puntos en los que $\gamma$ intersecta la diagonal se encuentra fácilmente su centro y su radio.
Aquí está la imagen; muestra que para el rectángulo considerado hay dos soluciones:
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