Los Principales Teoremas de Cálculo

Question

De la J. Taylor libro, "El completura propert es el ingrediente que falta en la mayoría de los curso de cálculo. Es poco discutida, pero sin ella, no se puede demostrar los principales teoremas de cálculo."

Mi pregunta es: ¿por Qué (sin) podremos probar los principales teoremas de cálculo?

Answer 1

Es mejor el estado de la integridad de la propiedad, que es el tema de la pregunta.

La integridad de la propiedad de la cifra real del sistema es la propiedad de los números reales, lo que la distingue de los números racionales.

Aparte de esta propiedad de los números reales y los números racionales se comportan exactamente de la misma manera. La propiedad puede ser expresada de muchas formas (y no estoy seguro de si usted puede entender todas las formas):

• Dedekind del Teorema: Si todos los números reales se agrupan en dos no vacía de conjuntos de $L$ $U$ tal que $L \cup U = \mathbb{R}, L \cap U = \emptyset$, y más si cada miembro de $L$ es menos que cada miembro de $U$, entonces existe un único número real $\alpha$ de manera tal que todos los números reales menos de $\alpha$ pertenecen a $L$ y todos los números reales mayores que a $\alpha$ pertenecen a $U$.

• Menos del límite superior de la propiedad: Si $A$ es un conjunto no vacío de números reales tales que ningún miembro de $A$ supera una constante real número $K$ (dicen), entonces existe un número real $M$ con la propiedad de que ningún miembro de $A$ supera $M$, pero cada número real a menos de $M$ es superado por al menos uno de los miembros de $A$. Este número $M$ se llama el mínimo límite superior o supremum de $A$.

• Cauchy Criterio de Completitud: Vamos a $a_{n}$ ser una secuencia de números reales tales que para cualquier número real $\epsilon > 0$ no es un número entero positivo $n_{0}$ tal que $|a_{n} - a_{m}| < \epsilon$ para todos los enteros positivos $m, n$$m \geq n_{0}, n \geq n_{0}$. A continuación, la secuencia $a_{n}$ converge para algún número real $L$. En otras palabras, existe un número $L$ tal que para cualquier $\epsilon > 0$ no es un número entero positivo $n_{0}$ tal que $|a_{n} - L| < \epsilon$ todos los $n \geq n_{0}$.

• Anidado Intervalo de Principio: Vamos a $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ ser una secuencia de intervalos cerrados tales que $I_{n + 1} \subseteq I_{n}$, entonces existe al menos un número real $\alpha$ que se encuentra en todos los intervalos de $I_{n}$ es decir $\bigcap_{n = 1}^{\infty}I_{n} \neq \emptyset$. Este es también llamado a veces el Cantor del Teorema de la Intersección.
• Bolzano-Weierstrass Teorema: Si $S$ es un conjunto infinito de números reales, que es acotado, entonces existe un número real $c$ (que puede o no pertenecer a $S$) de tal forma que cada barrio de $c$ contiene un punto de $S$ otros de $c$. Un punto de $c$ es llamado un punto límite o un punto de acumulación de a $S$.
• Heine Borel Principio: Vamos a $[a, b]$ sea un intervalo cerrado y deje $\mathcal{C}$ colección de abrir los intervalos de $I$ de manera tal que cada punto de $[a, b]$ se encuentra en un intervalo $I \in \mathcal{C}$. Entonces es posible elegir un número finito de intervalos de $\mathcal{C}$ dice $I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}$ de manera tal que cada punto de $[a, b]$ se encuentra en un intervalo $I_{j}$.

Ninguno de los resultados anteriores, si los números en cuestión son cambiadas a los números racionales. Además, suponiendo que alguno de los bienes, el otro puede ser demostrado. Estos son todos diferentes nociones de integridad que son equivalentes en el sistema numérico real. También tenga en cuenta que estas propiedades son una especie de existencia teoremas en el sentido de que se garantiza la existencia de algo útil en ciertos contextos particulares.

De estos el más sencillo de entender para un cálculo principiante (cualquier estudiante de edad de 15 y 16 años) es la primera propiedad llamada del Teorema de Dedekind nombrado después de que Richard Dedekind, quien desarrolló una rigurosa teoría de los números reales.

Lo que Taylor libro está diciendo es muy correcto y tal vez muy, muy lamentable para los estudiantes que están aprendiendo el cálculo. El tema de cálculo se basa en los fundamentos de número real del sistema y es una vergüenza que antes de aprender cálculo de la única maquinaria disponible para los estudiantes es el concepto de los números racionales, las leyes del álgebra para manipular expresiones y un poco de conocimiento acerca de los tipos específicos de los números irracionales como surds o $\pi$.

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Cualquier significativos teorema de cálculo (es decir, teoremas que no tiene que lidiar con la manipulación algebraica de varias cosas en el cálculo) se ha demostrado con la integridad de la propiedad de los números reales. OP quiere saber por qué es así?

Bien es difícil responder a su pregunta directamente. En mi opinión, uno debe decir que cualquier teorema de cálculo que se basa en la integridad de la propiedad es significativo y cualquier teorema de cálculo que no se basa en la integridad de la propiedad es insignificante en el sentido de que puede ser obtenido mediante el uso de las propiedades de los números racionales y las leyes del álgebra y por lo tanto estos no son sino extensiones de álgebra en una dirección particular.

Por lo tanto un teorema como $$\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$$ es insignificante y es más que una extensión del álgebra. Pero el teorema que dice que una secuencia que es creciente y acotada arriba converge a un límite es significativo. Teorema de Rolle, del Valor medio Teorema, Teorema del Valor Intermedio etc, son todos importantes teoremas. Es precisamente porque la "integridad de la propiedad" nunca es introducido en muchos de los libros de texto de cálculo que estos teoremas de cálculo nunca se demostró en dichos libros de texto.

Para el cálculo integral, la historia es mucho peor similares. Garantizar la existencia de anti-derivada de funciones continuas es una difícil resultado que no puede ser comprobado sin la integridad de la propiedad (utiliza el Heine Borel Principio en una de las pruebas) sin Embargo, puede invertir la diferenciación de las fórmulas para las funciones elementales para conseguir anti-derivados de las funciones más comunes y esto está muy bien, sin el uso de integridad.

Finalmente, está el famoso Teorema Fundamental del Álgebra , que no puede ser comprobado sin la integridad de la propiedad. Esto muestra que el teorema en realidad pertenece a análisis y se denomina así debido a razones históricas. No sirve de mucho un propósito fundamental en el álgebra.

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Aunque no preguntar, pero es importante para arrojar algo de luz sobre "por qué la integridad de la propiedad es el ingrediente que falta en la mayoría de los cursos de análisis matemático". Es porque antes de aprender cálculo los estudiantes son en su mayoría formados en la manipulación algebraica de expresiones matemáticas (junto con algunos teoremas básicos de la Geometría Euclidiana) y varios libros de texto de los autores y de los instructores creo que va a ser difícil para que los estudiantes salen de la manipulación algebraica que implican $+,-,\times, /$ y se centran en el fin de las relaciones entre el $<, >$ (lo cual es verdad hasta cierto punto, para muchos de los estudiantes). La integridad de la propiedad , ni siquiera puede ser entendido correctamente (deje su prueba) si uno no aprecia el concepto de relaciones de orden.

Al mismo tiempo, el mismo libro de texto de los autores y profesores sienten que es mejor si el cálculo también puede ser presentada como la manipulación algebraica de algo complicado y cosas nuevas, a continuación, los estudiantes tendrían que navegar a través de un curso de cálculo fácilmente sin la necesidad de centrarse en relaciones de orden y la integridad de la propiedad y un campeón de este pensamiento es Walter Rudin. Por otro lado, son muchos los libros de texto como los "Principios de Análisis Matemático" por Rudin, que acaba de asumir un importante propiedad como compleness como un axioma y justificar este enfoque sobre la base de "sonido pegagogy".

Este enfoque ayuda a los estudiantes a limitado a sus viejas técnicas y actitudes de álgebra y que nunca entender que lo fundamental para aprender de cálculo es apreciar el concepto de relaciones de orden y por lo tanto el estudio apropiado de la teoría de los números reales y los conceptos de límite, continuidad, derivada e integral basado en la teoría de los números reales. Con este método de cálculo parece muy misterioso, mágico y sí muy confuso para los estudiantes que son nuevos para él. Además de que se pierda la comprensión de todos los principales y teoremas fundamentales del cálculo.

Cito ahora mi ejemplo favorito. Con el fin de aprender cálculo correctamente/seriamente un estudiante debe ser capaz de demostrar las siguientes dos afirmaciones:

• No hay ningún número racional cuyo cuadrado es $2$.
• Si $a$ es un número racional positivo tal $a^{2} < 2$, entonces no es un número racional $b > a$ tal que $b^{2} < 2$.

El resultado de la primera pertenece al álgebra y es una rutina de ejercicio en la escuela secundaria. El segundo resultado es el comienzo de la verdadera-análisis (sin mencionar o usar cualquier cosa acerca de los números reales) y si el estudiante puede navegar a través de este resultado, entonces él puede muy bien obtener una adecuada teoría de los números reales a través de Dedekind cortes y para él cálculo es que nunca va a ser misterioso / confuso.

Afortunadamente un enfoque en el que se desarrolla la teoría de los números reales antes de desarrollar el cálculo está disponible en G. H. Hardy clásico libro "Un Curso de Matemáticas Puras."

Answer 2

Supongamos que tratamos de hacer cálculos utilizando sólo los números racionales. Definir $f$, de modo que $f(x) = 0$ si $x^2 < 2$, e $f(x) = 1$ lo contrario. A continuación, $f'(x) = 0$ todos los $x$, pero $f$ no es constante. Este es el tipo de cosa que va mal sin el axioma de completitud.