¿consolidado a la cardinalidad del continuo? Espero que no

Question

Supongamos que no creemos que la hipótesis continua. El uso de Von Neumann cardenal asignación (así que supongo que creemos bien los pedidos?), hay alguna "familiar" número ordinal $\alpha$ tal que, para no tautológica razones, $\aleph_\alpha$ es seguramente mayor que la cardinalidad del continuo? Espero que no, ya que parece bastante tonto si algo como $\alpha = \omega_0$ trabajaba y se podría decir, "bien gee no podemos probar que $c = \aleph_1$, pero es sin duda uno de los $\aleph_1, \aleph_2, \ldots , \aleph_{73}, \ldots$". Yo (obviamente) no sabe nada acerca de la teoría de conjuntos, así que esto es realmente sólo una curiosidad ociosa. Si de una forma más precisa la pregunta es deseado supongo que tendría que hacer

Para cualquier contables ordinal $\alpha$ es la declaración: $c < \aleph_\alpha$ independiente de ZFC en el mismo sentido de la hipótesis continua?

suponiendo que aún tiene sentido. Gracias!

Answer 1

Mike: Si se arregla un ordinal $\alpha$, entonces es coherente que ${\mathfrak c}>\aleph_\alpha$. Más precisamente, hay una (forzar) la extensión del universo de los conjuntos con los mismos cardenales , donde la desigualdad se cumple.

Si usted comienza con un modelo de GCH, entonces usted puede ir a una prórroga donde ${\mathfrak c}=\aleph_\alpha$ y cardenales no han cambiado, mientras $\alpha$ no es un ordinal límite de contables cofinality. Por ejemplo, $\aleph_{\aleph_\omega}$ es no de un tamaño válido para la continuidad. Pero puede ser mayor.

Aquí, el cofinality del límite ordinal $\alpha$ es el más pequeño de $\beta$ que no es una función no acotada $f:\beta\to\alpha$. No es el resultado de König que dice que $\kappa^\lambda>\kappa$ si $\lambda$ es el cofinality de $\kappa$. Si $\kappa={\mathfrak c}$, esto nos dice que $\lambda>\omega=\aleph_0$, ya que el ${\mathfrak c}=2^{\aleph_0}$$(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$. Desde $\aleph_{\aleph_\omega}$ ha cofinality $\omega$, no puede ser ${\mathfrak c}$.

Pero esta es la única restricción! La técnica para probar esto (forzar) fue inventado por Paul Cohen y transformado literalmente el campo.