Semi-formal de la lengua

Question

Quiero que el uso de semi-lenguaje formal para describir los cuatro puntos siguientes.

(1) El grupo de axiomas con la firma de $\{*\}$

(2) La propiedad "orden lineal" con la firma de $\{<\}$

Las siguientes propiedades no son capaces de formular:

(3) de Torsión grupo : $\forall x\in G \exists n\in \mathbb N: g^n=e$

(4) $\not\exists$ un subgrupo normal

Mi planteamiento:

(1) Asociatividad: $(\forall x,y,z) [(x*y)*z=x*(y*z)]$

Elemento neutro: $\forall x\exists e [x*e=e*x=x]$

Inverse elemento: $\forall a\exists b[a*b=b*a=e]$

Es esto correcto?

(2) Antisymmetry: $(\forall x,y,z) [x<=y \vee y<=x\rightarrow x=y]$

Transitividad: $(\forall x,y,z) [x<=y \vee y<=z\rightarrow x<=z]$

Totalidad: $(\forall x,y) [x<=y \vee y<=x]$

(3) creo que no es posible formular es debido a que no tenemos información acerca de la $n$. El profesor me dijo que es difícil prueba formal y no le vamos a discutir, pero yo estaría interesado en una prueba formal de este.

(4) Igual que aquí, normal subgrupos son subconjuntos, sin elementos, por lo tanto, necesitamos de segundo orden-lógica.

Answer 1

Vamos a resolver la torsión del grupo parte de la pregunta. Supongamos que existe un conjunto de $S$ de las sentencias que se pueden agregar a los otros axiomas de la teoría de grupos tales que los modelos de la resultante de la teoría de la $T$ son precisamente los grupos de torsión.

Añadir una constante símbolo $c$ a la lengua. Añadir a $T$ el especial axiomas $\phi_2,\phi_3,\phi_4,\dots$ donde $\phi_k$ dice que $c^k$ no es igual a la identidad. No es difícil escribir la $\phi_k$. Deje que la resultante de la teoría del ser $T'$.

Pretendemos que la teoría de la $T'$ es consistente. Si no lo es, algunos subconjunto finito $T_0$ $T'$ es inconsistente. Un subconjunto finito sólo puede incluir un número finito de la $\phi_k$. Supongamos que todos los $k$ tal que $\phi_k$$T_0$$\lt N$. Es fácil producir un modelo de $T_0$: un grupo cíclico de orden $N$ va a hacer el trabajo.

Llegamos a la conclusión de que $T'$ tiene un modelo de $G$. Si $g$ es la interpretación de la constante símbolo $c$$G$, $g$ satisface los axiomas, por lo $g$ tiene orden infinito. Esto contradice la suposición de que los únicos modelos de $T$ son de torsión grupos.

Comentario: La pregunta esencialmente preguntó si no hay una sola frase de que "dice que" tenemos una torsión de grupo. La solución muestra que, de hecho, ni siquiera podemos producir un conjunto (posiblemente infinita) de las frases que se va a hacer el trabajo.

Answer 2

Si usted sabe de ultraproducts, puede resolver ambos (3) y (4) al mismo tiempo.

Cada una de las ${\bf Z}_p$ es un simple torsión grupo, así que si usted toma un grupo de $G=\prod_p {\bf Z}_p/\mathcal U$ (donde $\mathcal U$ es un no-director de ultrafilter), obtendrá un grupo que es de torsión libre (porque para casi todos los $p$ todos los elementos de a ${\bf Z}_p$ tener un orden mayor que un determinado $n$), y es también una infinita abelian grupo, por lo que no puede ser simple.

Desde cada una de las ${\bf Z}_p$ es un simple torsión grupo, y sus ultraproduct no es ni simple ni una torsión de grupo, estas no son las propiedades de primer orden.