Simplificando el resultado de la fórmula para deprimido Cúbicos

Question

Después de la comprensión de la Cardano la fórmula para la solución de la depresión cúbicos (de la forma $x^3+mx=n$, por supuesto), he intentado encontrar la solución de la ecuación de $$x^3+6x=20.$$ Después de conectarlo a la fórmula $$x=(n/2+\sqrt{ \frac{n^2}{4}+ \frac{m^3}{27} })^{1/3}+(-n/2+\sqrt{ \frac{n^2}{4}+ \frac{m^3}{27} })^{1/3}$$ donde$m=6$$n=20$, obtenemos $$x=(10+ \sqrt{108})^{1/3}-(-10+ \sqrt{108})^{1/3}.$$ Sin embargo, nos damos cuenta de que, sin el uso de la fórmula de Cardano, que $x=2$ es la solución para la ecuación de $x^3+6x=20.$ Mi pregunta es: ¿cómo es la ecuación $$x=(10+ \sqrt{108})^{1/3}-(-10+ \sqrt{108})^{1/3}$$ get simplified to $x=2$?

P. S. entiendo que fue Niccolo Fontana, quien primero descubrió cómo resolver deprimido cúbicos, para dar a uno el crédito apropiado.

Answer 1

Con el beneficio de la retrospectiva, nos damos cuenta de que $10+\sqrt{108}=10+6\sqrt{3}$ y $$10+6\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})^3.$$ Del mismo modo, $$-10+6\sqrt{3}=(-1+\sqrt{3})^3.$$ Tomar el (verdadero) raíces cúbicas y restar.

Answer 2

\begin{align*} &\left(10+\sqrt{108}\right)^{1/3}-\left(-10+\sqrt{108}\right)^{1/3}\\ &=\left(10+6\sqrt{3}\right)^{1/3}-\left(-10+6\sqrt{3}\right)^{1/3}\\ &=\left((1+\sqrt{3})^3\right)^{1/3}-\left((\sqrt{3}-1)^3\right)^{1/3}\\ &=(1+\sqrt{3})-(\sqrt{3}-1)\\ &=2 \end{align*}

La fórmula: $$(A+B\sqrt{3})^3=A^3+3\sqrt{3}A^2B+9B^2A+3\sqrt{3}B^3$$ es útil.

Answer 3

Deje $a^3 = 10+\sqrt{108}=10+6\sqrt{3}, b^3 = -10 + \sqrt{108}=-10+6\sqrt{3}\implies a^3-b^3 = 20 = (a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)((a-b)^2 + 3ab)$. Observar que $(ab)^3 = 8 \implies ab = 2\implies (a-b)((a-b)^2 + 6) = 20\implies x^3+6x-20 = 0, x = a-b$. El uso de la división sintética tenemos: $x^3+6x-20 = 0\implies (x-2)((x+1)^2 + 9) = 0 \implies x = 2$ como se reivindica.