Mentira soporte de $[x,x]=0\implies [x,y]=-[y,x]$

Question

¿Por qué $[x,x]=0\implies [x,y]=-[y,x]$ en lo que respecta a la Mentira de los soportes.

He intentado jugar con bilinearity, pero no puedo conseguir que funcione.

$$[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],[x,x]=0$$

He intentado subbing en $z=x$$z=y$, pero yo simplemente no puede obtener anti-conmutatividad. Gracias

Answer 1

$$[x+y,x+y]=0=[x,x]+[x,y]+[y,x]+[y,y]=[x,y]+[y,x]\Rightarrow [x,y]=-[y,x]$$

Answer 2

Uno puede fácilmente demostrar que $[x,x]= x \cdot x - x \cdot x = 0$ y $$\begin{align} [ax + by, cx + dy] &= ac \, [x,x] + ad \, [x,y] + bc \, [y,x] + bd \, [y,y] \\ &= ad \, [x,y] + bc \, [y,x] \end{align}$$ Por dejar que $c = a$, $d = b$ a continuación,$0 = [x,y] + [y,x]$. Con esto entonces $$[ax + by, cx + dy] = (ad - bc) \, [x,y].$$