¿Ideal de un anillo de productos?

Question

Estoy tratando de probar si el ideal generado por $\langle (2,2)\rangle$ es un ideal primo de $\mathbb Z_4\times \mathbb Z_4$ ?

Mi problema es que no estoy seguro de cómo hacer la multiplicación de coordenadas: lo ideal sería $\{(0,0),(2,2)\}$ o sería $\{(0,0), (2,2), (2,0), (0,2) \}$ ? Creo que de cualquier manera es un ideal primo, pero quiero asegurarme de que estoy haciendo la multiplicación para el ideal correctamente.

Answer 1

Dado un elemento $a$ en un anillo $R$ el ideal $\langle a\rangle=\{ra\ |\ r\in R\}$

Así que en su caso sólo tiene que tomar cada elemento de $\mathbb Z_4 \times \mathbb Z_4$ y multiplicarlo por $(2,2)$ que le dará el ideal que ha escrito en segundo lugar.

Lo que has escrito primero es el subgrupo cíclico de $\mathbb Z_4\times \mathbb Z_4$ generado por $(2,2)$

Obsérvese también que el ideal dado no es primo por la siguiente razón: sabemos que un ideal $P$ es primo si siempre que $fg\in P\implies f\in P$ o $g\in P$ . Sin embargo su ideal dado contiene el producto $(3,0)\cdot (0,3)=(0,0)$ pero tampoco $(0,3)$ ni $(3,0)$ está en él.