Encontrar mínimo en un restringido de dos variables inecuaciones

Question

Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema:

P: encontrar el mínimo $$9a^2+9b^2+c^2$$ donde $a^2+b^2\leq 9, c=\sqrt{9-a^2}\sqrt{9-b^2}-2ab$

Answer 1

Vamos $$ F(a,b)=9(a^2+b^2)+(\sqrt{(9-a^2)(9-b^2)}-2ab)^2. $$ Entonces \begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial a}&=&\frac{2 b (18 (-9 + b^2) - 4 a^2 (-9 + b^2) + 5 a b \sqrt{(-9 + a^2) (-9 + b^2)})}{\sqrt{(-9 + a^2) (-9 + b^2)}},\\ \frac{\partial F}{\partial b}&=&\frac{2 a (a^2 (18 - 4 b^2) + 5 a b \sqrt{(-9 + a^2) (-9 + b^2)} + 18 (-9 + 2 b^2))}{\sqrt{(-9 + a^2) (-9 + b^2)}}. \end{eqnarray*} Dejando $\frac{\partial F}{\partial a}=\frac{\partial F}{\partial b}=0$ da $a=b=0,a=b=\pm\sqrt{2}$ que satisface $a^2+b^2\le 9$. Pero $F(0,0)=81,F(\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{2})=45$. Así que cuando $a=b=\pm\sqrt{2}$, $F$ alcanza el mínimo, el cual es de 45.

Otra forma es usar el siguiente desigualdad $$a_1+a_2+\cdots+a_n\ge n\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} $$ y la igualdad ocurre si, y sólo si $a_1=a_2=\cdots=a_n$. De hecho \begin{eqnarray*} F(a,b)-45&=&9 (a^2 + b^2) + (\sqrt{(9 - a^2) (9 - b^2)} - 2 a b)^2\\ &=&36 + 5 a^2 b^2 - 4 a b \sqrt{(9 - a^2) (9 - b^2)}\\ &=&\frac{(36 + 5 a^2 b^2)^2 - (4 a b \sqrt{(9 - a^2) (9 - b^2)})^2}{36 + 5 a^2 b^2 - 4 a b \sqrt{(9 - a^2) (9 - b^2)}}\\ &=&\frac{144+a^4b^4+16a^2b^2(a^2+b^2)-104a^2b^2}{36 + 5 a^2 b^2 - 4 a b \sqrt{(9 - a^2) (9 - b^2)}}\\ &=&\frac{a^2b^2}{36 + 5 a^2 b^2 - 4 a b \sqrt{(9 - a^2) (9 - b^2)}}\left(a^2b^2+16(a^2+b^2)+\frac{144}{a^2b^2}-104\right) \end{eqnarray*} Pero \begin{eqnarray*} a^2b^2+16(a^2+b^2)+\frac{144}{a^2b^2}&=&a^2b^2+\overbrace{2a^2+\cdots+2a^2}^8+\overbrace{2b^2+\cdots+2b^2}^8+\overbrace{\frac{16}{a^2b^2}+\cdots+\frac{16}{a^2b^2}}^9\\ &\ge&26\sqrt[26]{a^2b^2(2a^2)^8(2b^2)^8\left(\frac{16}{a^2b^2})\right)^9}\\ &=&104. \end{eqnarray*} Por lo tanto $F(a,b)-45\ge 0$ o $F(a,b)\ge 45$. El signo de igualdad ocurre si y sólo si $$ a^2b^2=2a^2=2b^2=\frac{16}{a^2b^2} $$ o, equivalentemente,$a=b=\pm\sqrt{2}$. Por lo tanto $F(a,b)$ alcanza el mínimo 45 al $a=b=\pm\sqrt{2}$.

Answer 2

Tal vez esto viene a su rescate.

Considere la posibilidad de $b \ge a \ge 0$

Cuando la expansión de $(\sqrt{9-a^2}\sqrt{9-b^2}-2ab)^2=(9-a^2)(9-b^2)+4a^2b^2-4ab \sqrt{(9-a^2)(9-b^2)}$

Este alcanza el mínimo al $4ab \sqrt{(9-a^2)(9-b^2)}$ es máxima.

La aplicación de AM-GM :

$\dfrac{9-a^2+9-b^2}{2} \ge \sqrt{(9-a^2)(9-b^2)} \implies 9- \dfrac{9}{2} \ge \sqrt{(9-a^2)(9-b^2)}$

$\dfrac{a^2+b^2}{2} \ge ab \implies 18 \ge 4ab$

Answer 3

$ 9a^2+9b^2+c^2=9a^2+9b^2+(9-a^2)(9-b^2)-4ab\sqrt{9-a^2}\sqrt{9-b^2}+4a^2b^2$

=$81+5a^2 b^2-4ab \sqrt{9^2-9(a^2+b^2)+a^2b^2} $

$\ge 81+5a^2 b^2-4|ab|\sqrt{9^2-9(a^2+b^2)+a^2 b^2} $ $ (-ab \ge -|ab|)$

$\ge 81+5a^2 b^2-4|ab|\sqrt{9^2-9(2|ab|)+a^2 b^2}$ $(a^2+b^2 \ge 2|ab|)$

=$81+5a^2 b^2-4|ab|(9-|ab|)$=$9a^2b^2-36|ab|+81$

$=9(|ab|-2)^2+45 \geq 45$ , $ (9(|ab|-2)^2 \ge 0)$

primero "=", $ab \ge 0$, 2º "=", $|a|=|b|$, última "=", $|ab|=2$, así llegamos al min 45 al $a=b=\pm \sqrt{2}$

con el mismo método, se puede obtener max también.

Edit: añado max de la misma manera:

$81+5a^2 b^2-4ab \sqrt{9^2-9(a^2+b^2)+a^2b^2} $

$\leq 81+5a^2 b^2+4|ab| \sqrt{9^2-9(a^2+b^2)+a^2b^2}$ $ (-ab \leq |ab|)$ $ \leq 81+5(\dfrac{a^2+ b^2}{2})^2+4*\dfrac{a^2+b^2}{2} \sqrt{9^2-9(a^2+b^2)+( \dfrac{a^2+b^2}{2} )^2} $ $ ( |ab| \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}, a^2 b^2 \leq (\dfrac{a^2+b^2}{2})^2)$

$=81+5x^2+4x(9-x)=81+x^2+36x $ ......... $ here: x=\dfrac{a^2+b^2}{2} \leq \dfrac{9}{2} $

$\leq 81+(\dfrac{9}{2})^2+36*\dfrac{9}{2}=\dfrac{567}{4}$

al $a=-b=\pm \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Answer 4

Otro enfoque - la simetría sugiere Purkiss Principio (condiciones para ser verificada), de modo que el extremo se alcanza cuando $a = b$.

Por lo $c = (9-a^2) - 2a^2 = 9-3a^2$
y $9(a^2+b^2) + c^2 = 18a^2 + (9-3a^2)^2 = 9a^4 - 36a^2 + 81 = 9 (a^2 - 2)^2 + 45$

que se minimiza al $a^2 = 2$ o $a = \pm \sqrt2$.