Dado $f(0) = f ' (0) = 0$ $f '' (0)$ definido en $[0,h]$, muestran que existe $c$ $[0,h]$ tal que $f(h) = (1/2)(h^2) f '' (c)$

Question

Dado $f(0) = f'(0) = 0$ $f''(x)$ definido en $[0,h]$, muestran que existe $c$ $[0,h]$ tal que $f(h) = (1/2)(h^2) f''(c)$.

Tomando nota de que Taylor teorema no está disponible todavía. El enfoque utiliza el Valor medio Teorema del Valor Intermedio Teorema, el teorema de Rolle, etc.

Answer 1

Definir $g : [0,h] \rightarrow \mathbb{R} $ $$ g(x) = f(x) -(x^2/h^2)f(h) $$ then you have $ g'(x) = f'(x) -(2x/h^2)f(h) $ and $ g"(x) = f"(x) -(2/h^2)f(h) $. Now observe that $ g(h) = 0 = g(0)$. Hence from Rolle's theorem there exists $ \xi \en (0,h) $ such that $ g'(\xi) = 0 $. We also have $ g'(0) = 0 $, hence Rolle's theorem again gives $ c \[0,h] $ such that $ g"(c) = 0 $ which implies $$ f''(c) -(2/h^2)f(h) = 0. $$ So $ f(h) = (h^2/2)f"(c) $.

Answer 2

Esto es exactamente de Lagrange forma de que el resto de la expansión de Taylor de $f(x)$. Así que usted puede ver una prueba de que si no está permitido el uso de la misma. Se basa en el teorema del valor y simplifica un poco en el caso de que usted está buscando.