¿Qué es un axioma en términos sencillos?

Question

Intenté explicar a mis hijos lo que es un axioma en una terminología muy poco técnica (también conocida como término lego) pero no pude encontrar nada con lo que pudieran relacionarse fácilmente.

¿Alguien tiene una buena explicación?

Answer 1

En matemáticas, todo resultado conocido desciende de algo más: se demuestra que es cierto a partir de otros hechos.

La única excepción son los axiomas: esas cosas que decidimos aceptar sin probarlas.

Tenemos que elegir algunos axiomas, ya que no podemos demostrar nada con nada, pero intentamos que sean lo más sencillos y obvios posible.

Por ejemplo, la geometría euclidiana se basa en cinco axiomas, el primero de los cuales es "dados dos puntos en un plano, siempre es posible construir una línea recta que pase por esos dos puntos". Otro afirma que es posible trazar un círculo con cualquier centro y radio.

A partir de estas sencillas afirmaciones, Euclides procede a demostrar propiedades más complejas de las figuras en el plano.

Answer 2

En otros tiempos, los axiomas se consideraban afirmaciones tan sencillas y "obviamente ciertas" que no se podían demostrar (o cualquier intento de demostrarlos tendría que basarse en cosas más complicadas -¿y por qué molestarse en demostrarlo si es obviamente cierto?)

En la acepción actual, un axioma es una afirmación que, para desarrollar una teoría concreta, se da por supuesta. Por ejemplo, los axiomas de la geometría euclidiana (hay exactamente una línea que pasa por dos puntos distintos dados" y así sucesivamente) pueden utilizarse para demostrar rigurosamente todas teoremas de la geometría euclidiana. Pero no hay ninguna "verdad" inherente a la teoría como tal. Sin embargo, si comprobamos que los axiomas de la geometría euclidiana son válidos para algunas cosas o fenómenos (por ejemplo, para los puntos y las líneas y trazados en la superficie de la Tierra), podemos estar seguros de que también todos los teoremas (como el de Pitágoras) se aplican a éstos. Pero en cuanto observamos que las "líneas rectas" de la superficie terrestre, como los meridianos, no son tan paralelas como deberían, la teoría euclidiana deja de ser plenamente aplicable a estos fenómenos .

Sin embargo, un "buen" sistema de axiomas es aquel que nos permite aplicarlo a cosas interesantes. Como entre esas cosas interesantes están la teoría de los números naturales, la geometría y la teoría de conjuntos, ciertos sistemas de axiomas (Peano, Euklid, Zermelo-Frenkel) relacionados con estas teorías se han convertido en algo estándar.

Answer 3

Para un matemático, o un filósofo, en la era premoderna (y para algunos chiflados de la era moderna) un axioma se refiere a una verdad tan básica que no se puede demostrar ni argumentar a partir de otras verdades. Un hecho elemental tan "obviamente" cierto que la única forma de argumentar sobre él es proclamar tautológicamente "simplemente es verdad!!!". Por ejemplo, el hecho de que la suma de números naturales es conmutativa, es decir, que $m+n=n+m$ para todos los números naturales $m,n$ podría tomarse como ejemplo de un axioma en ese sentido sobre los números naturales.

En la era moderna, ya no estamos obsesionados por lo que realmente son (sea lo que sea) y, por tanto, ya no tratamos los axiomas como se ha descrito anteriormente. En su lugar, reconocemos que las matemáticas son un sistema formal que consta de un lenguaje en el que expresarse, un sistema lógico que se utiliza para manipular los enunciados y una colección inicial de enunciados que tomamos como verdaderos, ya que deseamos ver cuáles son las consecuencias de las propiedades expresadas por estos axiomas. Así, cualquier enunciado puede tomarse como uno de los muchos axiomas. Por ejemplo, uno puede querer estudiar los números naturales de forma axiomática eligiendo ningún axioma. Pues bien, sin romper los huevos no se puede hacer una tortilla, así que todo lo que se obtendrá son tautologías. En el otro extremo, se pueden tomar como axiomas todas las afirmaciones verdaderas sobre los números naturales. Eso será un gran logro, pero, por supuesto, no es realista que puedas enumerar tus axiomas en este caso. El camino de oro consiste en encontrar una formulación inteligente y eficiente de las propiedades (de los números naturales) que se consideran características, y declararlas como axiomas. Así que, en el contexto moderno, los axiomas de un sistema son simplemente una descripción axiomática de algunas propiedades de lo que quieras estudiar (en lugar de un intento de describir qué cosas, describimos lo que se puede hacer con esas cosas). Para los números naturales, los axiomas de Peano hacen el trabajo.

Answer 4

Desde el punto de vista matemático, los axiomas son las reglas fundamentales autoimpuestas de los juegos a los que juegan los matemáticos. Por ejemplo, una parte considerable de las matemáticas se ocupa de estructuras (pensemos en los números) para las que se cumple la regla de que se puede sustituir $a·b$ con $b·a$ . A partir de estas reglas fundamentales, se pueden deducir todas las demás reglas -en realidad, eso ya es el juego en sí: deducir las reglas a partir de las reglas existentes. Por ejemplo, si tienes las reglas que $3·4$ puede sustituirse por $12$ y que $127$ puede sustituirse por $5$ se puede deducir la regla de que $3·47$ puede sustituirse por $5$ .

Desde un punto de vista práctico, la realidad también sigue ciertas reglas. Por ejemplo, si atamos dos trozos de cuerda, la longitud de la cuerda resultante es la misma, independientemente del orden en que los atemos. Estos conjuntos de reglas resultan ser los mismos con los que les gusta jugar a los matemáticos. En el ejemplo de la cuerda, corresponde a la regla $a+b=b+a$ . Por tanto, si los matemáticos deducen una nueva regla a partir de los axiomas (las reglas fundamentales), esta regla también se aplica a la realidad y nos permite hacer afirmaciones sobre la misma. De hecho, los matemáticos sólo llegaron a ciertos conjuntos de reglas porque reflejan la realidad (y querían comer). Nota: Lo que hace que las matemáticas sean tan útiles es que un conjunto de reglas matemáticas a menudo puede identificarse con muchos conjuntos de reglas reales.

Hay que tener en cuenta que cuando decía "la realidad sigue ciertas reglas", debería haber dicho: "la realidad parece para seguir ciertos conjuntos de reglas". En realidad, no sabemos que las reglas que suponemos que sigue la realidad las sigue siempre. Tenemos muy buenas razones para suponerlo, porque hemos puesto a prueba la mayoría de ellas durante miles de años y no hemos encontrado ningún ejemplo contrario, pero hasta ahí. Los matemáticos tienden a no preocuparse por esto, sino que se limitan a asumir que los axiomas son verdaderos. Hay dos razones para ello:

• Los matemáticos no quieren preocuparse por las reglas que rigen la realidad. Dejan ese trabajo a los físicos, los químicos y otros científicos (que, de todos modos, son mucho mejores en esto).

• Como ya se ha mencionado, un solo axioma matemático puede aplicarse a menudo a muchos objetos, problemas y similares de la vida real. Así, cada vez que los matemáticos encuentran una nueva regla para deducir de los axiomas, ésta puede aplicarse a muchos problemas de la vida real. Si los matemáticos se preocuparan de si los axiomas son verdaderos en cada una de sus posibles aplicaciones, nunca llegarían a hacer matemáticas de verdad.

Answer 5

términos simples

Los axiomas son cosas que hay que asumir para empezar a pensar en algo.