Ideal en un Noetherian anillo que no es igual a un producto de primer ideales

Question

En un Noetherian anillo, se sabe que cada ideal que contiene un producto de primer ideales.

¿Hay algún ejemplo de un Noetherian anillo en el que un ideal no es igual a cualquier producto de primer ideales?

Esta es una pregunta natural,que no he encontrado aún, como un ejercicio de referencias comunes que los citados bienes se indica.

Mi respuesta intuitiva: considerar un adecuado sub-anillo del anillo de los enteros en un campo de número. Por ejemplo, el ideal de $(2,1+\sqrt{-5})$$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$; estoy en lo cierto?

Answer 1

En el polinomio anillo de $k[X,Y]$ sobre un campo $k$ afirmo que el ideal de la $I=\langle X^2,Y^2\rangle$ no puede ser escrito como un producto de $I=\mathfrak p_1\cdot\cdots\mathfrak p_n$ cuando la $\mathfrak p_i$'s son los principales ideales, no necesariamente distintos.
De hecho, si este fuera el caso tendríamos $I\subset \mathfrak p_i$ por cada $i$, de modo que $$\sqrt I= \langle X,Y\rangle\subset \sqrt {\mathfrak p_i}=\mathfrak p_i$$ Since $\mathfrak m :=\langle X,Y\rangle$ is maximal this forces $\mathfrak p_i=\mathfrak m$ for all $i$ and thus we would have $I=\mathfrak m^n$.
Pero esto es falso para cualquier $n$ desde $$\mathfrak m=\langle X,Y\rangle\supsetneq \mathfrak m^2=\langle X,Y\rangle^2=\langle X^2,XY,Y^2\rangle\supsetneq I=\langle X^2,Y^2\rangle\supsetneq \mathfrak m^3\supsetneq \cdots \supsetneq \mathfrak m^n\supsetneq\cdots$$

Answer 2

Yo pertenezco a la Geométrica Fe, sino también para los de la media Aritmética de la Persuasión aquí es un número teórico de ejemplo.
Deje $A=\mathbb Z[i\sqrt 3$] y considerar el principal ideal de $I=\langle 1+i\sqrt 3\rangle\subset A$.
Yo reclamo que $I$ no es un producto de primer ideales.
De hecho, cualquier primer ideal $\mathfrak p$ contiene $I$ debe contener $(1+i\sqrt 3)(1-i\sqrt 3)=4$ e lo $\mathfrak p$ también debe contener $2$, de modo que $\langle 1+i\sqrt 3,2\rangle\subset \mathfrak p$.
Sin embargo $\langle 1+i\sqrt 3,2\rangle$ es un ideal maximal y llegamos a la conclusión de que $\mathfrak p=\langle 1+i\sqrt 3,2\rangle$.
Esto demuestra que la única manera de $I$ puede ser un producto de primeideal sería que $I=\mathfrak p^n$.
Pero esto es imposible porque $$\mathfrak p=\langle 1+i\sqrt 3,2\rangle\supsetneq I=\langle 1+i\sqrt 3\rangle\supsetneq \mathfrak p^2=\langle 2+2i\sqrt 3,4\rangle \supsetneq\cdots\supsetneq \mathfrak p^n\supsetneq\cdots$$

NB
El anillo de $A=\mathbb Z[i\sqrt 3]$ es, por supuesto, no Dedekind: el principal teorema acerca de los anillos de Dedekind es que cada ideal de un anillo es un producto de primer ideales !