Representación Teorema de funcionales de Continuo Semimartingales

Question

Deje $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ Probabilidad de espacio y deje $\{(X_t) : 0 \leq t \leq T \}$ ser un continuo semimartingale. Deje $\xi$ $\mathcal{F}_T^X$ medibles. Qué significa que el $\xi = F(X_u : 0 \leq u \leq T)$ para algunos medibles $F : C[0,T] \rightarrow \mathbb{R}$ ? Aquí la topología en $C[0,T]$ es generado por cilíndrico conjuntos. Intuitivamente la respuesta parece ser que sí. He intentado demostrar que, asumiendo que el $\xi$ sólo depende de $X$ en número finito de veces. Sin embargo, tengo problemas con el paso al límite. Cualquier ayuda/referencias es muy apreciada.

Answer 1

Fix $T>0$ y deje $\zeta = (X_t)_{t\le T}$, entonces tiene que $\zeta$ es un medibles asignación de$\Omega$$C[0,T]$. Por convencional de medir los resultados de la teoría, que luego también obtener ese $\mathcal{F}_T^X$ es generado por la única variable de la $\zeta$, $\mathcal{F}^X_T = \sigma(\zeta)$. Por lo tanto, por el Doob-Dynkin lema (ver el primer lema de la Sección A. IV.3 de la "Clásica de la teoría potencial y su probabilística de la contraparte" de J. L. Doob), sostiene que existe una apreciable de asignación de $F:C[0,T]\to\mathbb{R}$ con la propiedad de que $\xi =F(\zeta) = F((X_t)_{t\le T})$, según se requiera.