Definición de los principales ideales

Question

Esta es una pregunta bastante básica acerca de las principales ideas - en la página 197 de Katznelson Una (Breve) Introducción al Álgebra Lineal, se dice:

Suponga que $\mathcal{R}$ tiene un elemento de identidad. Para $g\in \mathcal{R}$, la $I_g = \{ag:a\in\mathcal{R}\}$ es una izquierda ideal en $\mathcal{R}$, y es claramente el más pequeño (a la izquierda), ideal que contiene a $g$.

Los ideales de la forma $I_g$ son llamados principal a la izquierda ideales...

(Nota: $\mathcal{R}$ es un anillo).

¿Por qué es la suposición de que $\mathcal{R}$ tiene un elemento de identidad importante?

Answer 1

Porque si $\mathcal{R}$ tiene una identidad, a continuación, $I_{g}$ es el más pequeño de la izquierda ideal que contiene a $g$. Sin una identidad, podría ser que la $g \notin I_{g}$.

Por ejemplo, si $\mathcal{R} = 2 \mathbf{Z}$, $I_{2} =\{a \cdot 2:a\in 2 \mathbf{Z} \} = 4 \mathbf{Z}$ no contiene $2$.

(Gracias Cocopuffs para señalar a una anterior de error.)

Answer 2

Anillos de sin identidad (a veces llamados generadores de números aleatorios) no se comportan como los anillos de la identidad (por ejemplo, que no puede contener la máxima ideales), y muchos de los teoremas que se mantenga para los anillos con la identidad que no se mantenga para los generadores de números aleatorios.

Answer 3

Si $R$ es un generador de números aleatorios, la izquierda ideal generado por un elemento $g$ (es decir, la más pequeña a la izquierda ideal que contiene a $g$) está dada por la $\mathbb{Z}$-intervalo de $\{g\} \cup \{rg : r \in R\}$. Así pues, los elementos de $\langle g \rangle$ tiene la forma$z \cdot g + r \cdot g$$z \in \mathbb{Z}$$r \in R$.