Por qué $y=e^x$ no es una curva algebraica sobre $\mathbb R$ ? Puedo decir que no es una curva algebraica sobre $\mathbb C$ porque $e^x$ es una función periódica, pero ¿qué pasa con $\mathbb R$ ?
EDITAR:
No quiero usar la trascendencia de $e$ . O bien, puedo hacer esta pregunta para $y=2^x$ .
ACTUALIZACIÓN:
¿Podemos decir que la curva algebraica sobre $K$ también es alegraico sobre cualquier extensión de $K$ ?
Dejemos que $b > 1$ sea un número real. Si la función $y = b^{x}$ fuera algebraico, existiría un número entero positivo $N$ y funciones polinómicas de una variable $p_{k}$ con $0 \leq k \leq N$ y $p_{N}$ no es idéntico a cero, de manera que el polinomio $$ f(x, y) = \sum_{k=0}^{N} p_{k}(x) y^{k} $$ tiene el cero igual a la gráfica $y = b^{x}$ . Pero esto implicaría $$ 0 = \sum_{k = 0}^{N} p_{k}(x) b^{kx} = b^{Nx} \sum_{k = 0}^{N} p_{k}(x) b^{(k - N) x} \quad \text{for all real $ x $.} \tag{1} $$ Cada término de la suma de la derecha es un polinomio en $x$ multiplicado por una función exponencial con exponente no positivo. Como $x \to \infty$ cada término con $k < N$ se acerca a $0$ . Dado que el término $p_{N}(x)$ no es idéntico $0$ la ecuación (1) es falsa, independientemente de la $p_{k}$ son elegidos.
Supongamos que $x$ y $e^x$ satisfacen una ecuación polinómica $f(x,e^x)=0$ donde $f(x,y)$ tiene un grado mínimo en $y$ .
Escriba $f(x,y)=p(x)y^n+g(x,y)$ , donde $p(x)y^n$ es el término principal de $y$ .
Diferenciar $p(x)e^{nx}+g(x,e^x)=0$ y obtener $np(x)e^{nx}+p'(x)e^{nx}+h(x,e^x)=0$ para algunos $h$ .
Resta $n$ multiplicar la primera ecuación por la segunda y obtener $p'(x)e^{nx}+h(x,e^x)-ng(x,e^x)=0$ .
Esta ecuación tiene un término principal $p'(x)e^{nx}$ de menor grado en $x$ .
Podemos repetir este proceso hasta eliminar el término en $y^n$ , lo cual es una contradicción.
La misma prueba sirve para $b^x$ con algunos $\log b$ factores que pueden ser absorbidos.
Según leo en tu post aceptas que $y=e^x$ no es una curva algebraica sobre $\mathbb{C}$ . Por lo tanto, supongamos que $y=e^x$ es algebraico sobre $\mathbb{R}$ . Es decir, existe un polinomio no constante $p \in \mathbb{R}[X,Y]$ tal que $$p(x,e^x) = 0$$ para todos $x \in \mathbb{R}$ . Establecer $f(z) := p(z,e^z)$ . Entonces $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es una función holomorfa, es decir, una función entera. La restricción de $f|_{\mathbb{R}}$ es cero. Así que por el principio de identidad $f$ es cero para todo número complejo. Entonces $$p(z,e^{z}) = 0$$ para todos los números complejos, por lo tanto $y=e^x$ es algebraico sobre los números complejos.
Una curva algebraica sobre $\mathbb{Q}$ es, por definición :
un conjunto de puntos en el plano euclidiano cuyas coordenadas son ceros de algún polinomio en dos variables con coeficientes en $\mathbb{Q}$ , es decir, son números algebraicos.
pero $y=e^1=e$ no es un número algebraico (esto se puede demostrar como consecuencia de la Teorema de Lindemann-Weierstrass ). por lo que las coordenadas del punto $(1,e)$ no son soluciones de una ecuación polinómica con coeficientes racionales.
Añadido.
La definición anterior es válida para una curva algebraica sobre $\mathbb{Q}$ pero puede ampliarse a cualquier ámbito $K$ :
Una curva algebraica (plana) es la gráfica de una ecuación $f(x,y)=0$ donde $f(x,y)$ es un polinomio con coeficientes en $K$ .
La ecuación $y-2^x=0$ no se puede escribir como un polinomio.
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