Evaluación de los

Question

¿Cómo encontramos$$\int \frac{x\sin( \sqrt{ax^2+bx+c})}{ax^2+bx+c} \ dx\

NB: no es obligatorio que$ax^2+bx+c$ tenga solo una raíz

Answer 1

Demasiado tiempo para un comentario:

Si el polinomio tiene una sola raíz, es decir,$ax^2+bx+c=A^2(x+B)^2$, la integral puede resolverse mediante la sustitución$y=A(x+B)$. El resultado es una combinación directa de las integrales trigonométricas:$$\frac{B}{A}\left(\text{sinc}(y)-\text{Ci}(y)\right)+\frac{1}{A^2}\text{Si}(y) No veo cómo el caso no degenerado se puede resolver en forma cerrada, aunque se puede obtener una aproximación expandiendo$\sin$ en una serie de Taylor, y luego usar la sustitución de Euler en cada una de las fracciones racionales en$\sqrt{ax^2+bx+c}$.

Answer 2

Insinuación:

$\int\dfrac{x\sin\sqrt{ax^2+bx+c}}{ax^2+bx+c}dx$

$=\int\dfrac{x}{ax^2+bx+c}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(ax^2+bx+c)^{n+\frac{1}{2}}}{(2n+1)!}dx$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx(ax^2+bx+c)^{n-\frac{1}{2}}}{(2n+1)!}dx$