Encontrar la derivada de $f$ $2$

Question

Que $g$ ser una función valor real definida en el intervalo de $(-1,1)$ tal que $$e^{-x}(g(x)-2e^x)=\int_0^x \sqrt{y^4+1}\,dy$$ for all $x\in (-1,1) $ and $f $ be another function such that $$f(g(x))=g(f(x))=x.$$ Then find the value of $% $ $f'(2).$

Así que primero probé mucho una entonces lo probamos en una calculadora de integración pero $\int_0^x \sqrt{y^4+1} \, dy$ no es posible. Siguiente, puesto que se da a $f(g(x))=g(f(x))=x$, por lo tanto $f^{-1}=g$ y vice versa. Pero no he podido aún encontrar la idea más tonta como se hace esta pregunta. Por favor ayuda me a chicos. ¡Gracias! ¡Saludos!

Answer 1

Observe que la evaluación de la primera ecuación en 0 rendimientos $g(0)=2$.

Usted puede entonces saber que estamos buscando $g'(0)$ porque de esta fórmula.

Entonces, derivando la primera expresión utilizando el teorema fundamental del cálculo, podemos encontrar: $$ -e^{-x}g(x)+g'(x)e^{-x}=\sqrt{x^4+1} $$ que, cuando se evalúa en 0 se obtiene: $$ g'(0)-g(0)=1 $$ Entonces, desde el $g(0)=2$, se puede concluir fácilmente que $f'(2)=\frac{1}{3}$.

Answer 2

Un toque pequeño: derivar $f(g(x))=x$ por la regla de la cadena: $$(x)'=1=(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$ $ ahí $$f'(g(x))=\frac{1}{g'(x)}.$ $ por lo que necesitará encontrar un $x$ donde $g(x)=2$ y calcular el $g'(x)$.