Construcción de conjuntos de cierta medida de las clases de bijections en el continuum

Question

Suponga que cada $\alpha

Quiero saber si siempre es posible construir un $X\subseteq Y\subseteq 2^\omega$ tal que:

1. $X$ tiene medida 0.
2. $Y$ tiene medida positiva.
3. ${\alpha \mid \min f\alpha(Y) = \min f\alpha(X)}$ tiene medida positiva.

($Z\subseteq 2^\omega$ $\min Z$ Denota el elemento más pequeño bajo el ordenamiento ordinal).

Answer 1

Aquí es un contraejemplo, según el cap. Deje $\{x_i : i < \omega_1\}$ enumerar todos los reales. Deje $\{B_i : i < \omega_1\}$ lista de todos los Borel null establece y poner $N_i = \bigcup \{B_j : j < i\}$. Deje $\langle K_i : i < \omega_1\rangle$ lista de todos los compactos no nulos conjuntos. Para cada una de las $i < \omega_1$ elegir un bijection $f_i$ la satisfacción de:

(a) $f_i[N_i \setminus \{x_i\}] \subseteq \{x_j : j > i\}$

(b) $(\forall \omega \leq j < i)(f_i[K_j] \cap \{x_k : k < i\} \neq \phi)$

(c) $f_i(x_i) = x_i$

Ahora supongamos $X$ es nulo y $Y$ es medible no nulos. Elija $i_0$ tal que $K_{i_0} \subseteq Y$ $X$ está contenido en $B_{i_0}$. Supongamos $i > i_0$$x_i \notin X$. A continuación, $\textsf{min}(f_i[Y]) \leq \textsf{min}(f_i[K_{i_0}]) < i$ por la cláusula (b). También se $\textsf{min}(f_i[X]) \geq \textsf{min}(f_i[N_i] \setminus \{x_i\}) > i$. Por lo $\{x_i : \textsf{min}(f_i[X]) = \textsf{min}(f_i[Y])\}$ es nulo.

Voy a tratar de decir más sobre otras variaciones pronto.

Answer 2

Vamos a mostrar que el CH puede ser bajado desde el argumento de la anterior (Check!). Deje $\langle (N_i, K_i, x_i) : i < \mathfrak{c} \rangle$ cumplir con lo siguiente: $\langle x_i : i < \mathfrak{c} \rangle$ es un uno-una enumeración de todos los reales, para cada uno de Borel null set $N$ y Borel no nulos set $K$, la $\{x_i : N_i = N, K_i = K\}$ es un Bernstein subconjunto de los reales (por lo que se reúne cada conjunto perfecto de reales). Construcción $\langle f_i : i < \mathfrak{c} \rangle$ de manera tal que el siguiente mantenga

(a) $f_i[N_i \setminus \{x_i\}] \subseteq \{x_j : j > i\}$

(b) $f_i[K_i] \cap \{x_j : j < i\} \neq \phi$ $i \geq \omega$

(c) $f_i(x_i) = x_i$

Supongamos $X$ es nulo y $Y$ es medible no nulos. Deje $N$ ser un null Borel conjunto que contiene a $X$. Deje $K$ ser un compacto no nulos conjunto contenida en $Y$.

Pretendemos que el conjunto $W = \{x_i : \textsf{min}(f_i[X]) = \textsf{min}(f_i[Y])\}$ cero al interior de la medida. Supongamos que no. A continuación, $W_1 = W \cap \{x_i : x_i \notin N, N = N_i, K = K_i\}$ es no nulo - Contradicción como antes.

No tengo nada interesante que decir sobre el "no nulo" caso todavía. Voy a publicar de nuevo cuando tengo algo.