Integral $\int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} |x + y|\,\mathrm dy\,\mathrm dx$

Question

Aquí es la pregunta.

He puesto la ecuación en la siguiente integral doble:

$$\int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} |x + y|\,\mathrm dy\,\mathrm dx$$

Sé que se puede dividir la función absoluta en lo siguiente. No estoy muy seguro de qué hacer a continuación. He mirado este pero no sé cuándo x + y es no negativo y cuándo es negativo, ya que necesitamos los valores tanto de x como de y y al calcular la integral interna sólo lo hacemos con respecto a y. Así que no sé exactamente cómo determinar cuándo |x + y| es no negativo y cuándo es negativo. $$ |\,x + y\,| = \left\{ \begin{array}{lr} x + y & : x + y >0 \Leftrightarrow y > -x \\ -(x + y) & : x + y < 0 \Leftrightarrow y < -x \end{array} \right. $$

Sin embargo, se me ocurrió una "solución" que es bastante tonta pero pensé que podría funcionar.

$$\int_{0}^{1} | \int_{-1}^{1} x \, dy \, + \int_{-1}^{1} y \,dy\, | = \int_{0}^{1} |\, 2x\, | = 1 $$

Estoy perdido y cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Sugerencia, aplicando su fórmula para $|x+y|$ da: $$\int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} |x + y|\,dy\,dx = \int_{0}^{1} \int_{-1}^{-x} [-(x + y)]\,dy\,dx + \int_{0}^{1} \int_{-x}^{1} (x + y)\,dy\,dx $$

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\dagger}}% \newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \atop {= \atop \vphantom{\huge A}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1\,\right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$ $\ds{{\cal I} \equiv \int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\verts{x + y}\,\dd y\,\dd x = \int_{0}^{1}{\cal F}\pars{x}\,\dd x\quad\mbox{where}\quad {\cal F}\pars{x} \equiv \int_{-1}^{1}\verts{x + y}\,\dd y}$

\begin {align} { \cal F} \pars {x} &= \left.\vphantom { \LARGE A} \verts {x + y}\N-, y\N-, \right\vert_ {y\ =\ -1}^{y\ 1} - \int_ {-1}^{1}y \sgn\pars {x + y}\N-, \dd y \\ [3mm]&= \verts {x + 1} + \verts {x - 1} - \bracks {% \left.\vphantom { \LARGE A} \sgn\pars {x + y}\N, {y^{2} \over 2} \right\vert_ {y\ =\ -1}^{y\ =\ 1}} + \int_ {-1}^{1}{y^{2} \over 2} \bracks {2 \delta\pars {x + y}}, \dd y \\ [3mm]&= \verts {x + 1} + \verts {x - 1} - {1 \over 2}\, \sgn\pars {x + 1} + {1 \over 2}\, \sgn\pars {x - 1} + x^{2} \Theta\pars {1 - \verts {x}} \end {align}

$$ {\cal F}\pars{x} = \verts{x + 1} + \verts{x - 1} - {1 \over 2}\,\sgn\pars{x + 1} + {1 \over 2}\,\sgn\pars{x - 1} + x^{2}\Theta\pars{1 - \verts{x}} $$

\begin {align} { \cal I}&= \int_ {1}^{2}{1 \over 2}\, \verts {x}\, \dd x + \int_ {-1}^{0}{1 \over 2}\, \verts {x}\, \dd x - \int_ {1}^{2} \sgn\pars {x}\, \dd x + \int_ {-1}^{0} \sgn\pars {x}\, \dd x + \int_ {0}^{1}x^{2}\, \dd x \\ [3mm]&= \left. {x^{2} \over 4} \right\vert_ {1}^{2} - \left. {x^{2} \over 4} \right\vert_ {-1}^{0} - \left.x\right\vert_ {1}^{2} + \left.\pars {-x} \right\vert_ {-1}^{0} + \left. {x^{3} \over 3} \right\vert_ {1}^{2} \\ [3mm]&= \pars {1 - {1 \over 4}} - \pars {-\,{1 \over 4}} - 1 - 1 + \pars {{8 \over 3} - {1 \over 3}} = {4 \over 3} \end {align}

$$\color{#0000ff}{\large% \int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\verts{x + y}\,\dd y\,\dd x = {4 \over 3} } $$