¿Existencia de Polinomio irreducible de grado arbitrario sobre campo finito sin el uso del teorema del elemento primitivo?

Question

Supongo que $F{p^k}$ es un campo finito. Si $F{p^{nk}}$ es un campo de extensión, entonces el teorema del elemento primitivo nos dice que $F{p^{nk}}=F{p^k}(\alpha)$ $\alpha$, cuyo polinomio mínimo es así un polinomio irreducible de grado $n$ $F_{p^k}$.

¿Hay una alternativa a la que muestra que los polinomios irreducibles de grado arbitrario de $n$ existen sobre $F_{p^k}$, sin tener que recurrir al teorema del elemento primitivo?

Answer 1

Un cálculo muy simple de estimación se muestran que tales polinomios tienen que existir. Deje $q=p^k$$F=\Bbb F_q$, $X^{q^n}-X$ es el producto de todos los polinomios irreducibles sobre $F$ de grado dividiendo $n$. El grado del producto de todos los polinomios irreducibles sobre $F$ de grado estrictamente dividiendo $n$ puede estimarse entonces como en la mayoría de $$ \sum_{d\mediados de n, d\neq n}p^d\leq\sum_{i<n}p^i=\frac{q^n-1}{q-1}<q^n=\deg(X^{q^n}-X), $$ de modo que no tienen en cuenta todos los factores irreducibles de $X^{q^n}-X$.

Debo añadir que al empezar con todas las $q^n$ monic polinomios de grado $n$ y el uso de la inclusión-exclusión de principio a cuenta de forma recursiva para el reducible entre ellos, uno puede encontrar el número exacto de polinomios irreducibles sobre $F$ grado $n$ $$ \frac1n\sum_{d\mediados n}\mu(n/d)p^d, $$ que es un número positivo esencialmente por el argumento anterior (ya que todos los valores de la función de Möbius $\mu$ mentira en $\{-1,0,1\}$$\mu(1)=1$). Una búsqueda rápida en este sitio no fue hasta esta fórmula aquí y aquí, pero yo no tropezar con una escuela primaria y general de la prueba no se utiliza nada sobre campos finitos, aunque me dio uno aquí para el caso particular $n=2$. Yo bien podría haber pasado por alto tal prueba, aunque.