¿Cómo es la acción del anillo escalar $S$ $M\otimes_R N$ bien definida?

Question

Que $\sum^k m_i \otimes n_i = \sum^l m_j' \otimes n_j'$ ser dos representaciones del mismo tensor en el Grupo abeliano $M \otimes_R N$, donde $M$ es un $(S,R)$-bimodule y y un izquierda $R$-módulo. Cómo es la acción de $S$ $M\otimes_R N$, definido por

$$ s (\sum^k m_i \otimes n_i) = \sum^k (s m_i) \otimes n_i $$

¿bien definidos? Tengo problemas para probar. El propósito es mostrar que $M \otimes_R N$ tiene una estructura de módulo % # % izquierda natural #%.

Answer 1

Sugerencia: Puede utilizar la propiedad universal del producto tensorial.

Echemos un vistazo a $\ell_s:M\times N\to M\otimes_R N$ donde $\ell_s(m,n):=(sm)\otimes n$. Es definitivamente bien definido desde el módulo $M$ se encuentra bien definida. ¿Qué otras propiedades tiene este mapa?

Por supuesto después de todo y al cabo vamos a cambiarle $\ell_s(m,n)$ $s(m,n)$. Sólo quiero que concentrarse en multiplicación izquierda $s$ como una función.

Answer 2

Es suficiente mostrar que $s( m \otimes n) = (s m)\otimes n$. Como usted sabe, hablamos de $m \otimes n$ es $(m,n)+L$ donde $L$ $\rm{Im}\otimes$.

Ahora, para mostrar $s( m \otimes n) = (s m)\otimes n$:

$s( m \otimes n) =s(m,n)+L=(sm,n)+L=(s m)\otimes n$

Answer 3

No uso de los elementos, porque entonces usted va a perder la obvia y elegante de la prueba: $M$ $(S,R)$- bimodule, esto significa que tenemos un derecho $R$-lineal mapa de $S \otimes_R M \to M$ la satisfacción de las habituales de los axiomas. El tensor de producto es asociativo (esto es lo que sucede en rschwieb la respuesta, pero ¿por qué demostrando una vez más en un caso especial?) y functorial, por lo tanto tenemos un aditivo mapa $$S \otimes_R (M \otimes_R N) \cong (S \otimes_R M) \otimes_R N \longrightarrow M \otimes_R N.$$ La izquierda $S$-módulo de axiomas puede ser comprobada mediante el diagrama de casos. De hecho, la totalidad de las obras de construcción en un arbitrario cocomplete tensor de la categoría: Si $R,S,T$ son álgebra objetos (a veces también llamado monoid objetos), $M$ algunos $(S,R)$-bimodule objeto y $N$ algunos $(R,T)$-bimodule objeto, a continuación, $M \otimes_R N$ lleva la estructura de una $(S,T)$-bimodule objeto (¿ alguien tiene una referencia a la literatura para esto? No quiero probar tales nimiedades en mi tesis).