Determinante de la matriz que cumple ciertas condiciones

Question

Dejemos que $A$ ser un $3\times3$ matriz sobre números reales tal que $A^{-1} =I-2A$ . Encuentre el determinante de $A$ .

1. $\dfrac12$
2. $-\dfrac12$
3. $1$
4. $2$

Dado que la ecuación anterior resulta en un polinomio de dos grados, $2x^2-x+1$ Tengo dos valores propios como $\dfrac{1 + i\sqrt{7}}4$ y su conjugado. Su producto me da $\dfrac12$ . ¿Pero qué pasa con el otro valor propio? Deberíamos obtener un polinomio de 3 grados para seguir adelante, ¿no? No sé si esto me ayuda.

Gracias

Answer 1

No existe tal matriz.

Porque, tenemos:

$A^{-1} = I - 2A; \tag 1$

multiplicando por $A$ :

$I = A - 2A^2; \tag 2$

reordenamiento:

$2A^2 - A + I = 0. \tag 3$

Ahora utilizamos lo siguiente

Es un hecho: Si una matriz $A$ satisface un polinomio $p(x)$ , entonces cada valor propio $\lambda$ de $A$ también satisface $p(x)$ es decir $p(\lambda) = 0$ Además, si las raíces de $p(x)$ son distintos, y $p(x)$ es de grado mínimo entre los polinomios satisfechos por $A$ , entonces cada cero de $p(x)$ es un valor propio de $A$ .

Prueba de los hechos: Si

$p(A) = 0, \tag 4$

y

$A \vec v = \lambda \vec v, \tag 5$

luego escribir

$p(x) = \displaystyle \sum_0^{\deg p} p_i x^i, \tag 6$

encontramos

$0 = p(A) \vec v = \left (\displaystyle \sum_0^{\deg p} p_i A^i \right )\vec v = \left ( \displaystyle \sum_0^{\deg p} p_i \lambda^i \right ) \vec v = p(\lambda) \vec v, \tag 7$

para algunos $\vec v \ne 0$ ya que

$A^i \vec v = \lambda^i \vec v, \tag 8$

como se puede ver fácilmente por la aplicación repetida de $A$ a (5), como en

$A^2 \vec v = AA\vec v = A(\lambda \vec v) = \lambda A \vec v = \lambda^2 \vec v, \tag 9$

etc. Desde $\vec v \ne 0$ vemos que

$p(\lambda) = 0; \tag{10}$

Ahora bien, si las raíces $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_{\deg p}$ de $p(x)$ son distintos, podemos escribir

$p(x) = \displaystyle \prod_1^{\deg p} (x - \lambda_i); \tag{11}$

entonces

$\displaystyle \prod_1^{\deg p} (A - \lambda_i) = p(A) = 0; \tag{12}$

y como $p(x)$ es mínimo para $A$ Debemos tener

$\displaystyle \prod_2^{\deg p} (A - \lambda_i) \ne 0, \tag{13}$

por lo que hay algún vector $\vec w$ tal que

$\vec v = \displaystyle \prod_2^{\deg p} (A - \lambda_i) \vec w \ne 0, \tag{14}$

por lo tanto, a partir de (12),

$(A - \lambda_1) \vec v = (A - \lambda_1) \displaystyle \prod_2^{\deg p} (A - \lambda_i) \vec w = 0, \tag{15}$

que muestra que $\lambda_1$ es efectivamente un valor propio de $A$ claramente el mismo argumento puede repetirse intercambiando los papeles de $\lambda_1$ y $\lambda_i$ , $2 \le i \le \deg p(x)$ lo que demuestra que cada $\lambda_j$ , $1 \le j \le \deg p(x)$ es un valor propio de $A$ . Fin de la prueba de hechos.

Supongamos ahora que $2x^2 - x + 1$ no eran de grado mínimo para $A$ el para algunos $\alpha$ , $\beta$ debemos tener

$\alpha A + \beta I = 0, \tag{16}$

de donde

$A = -\dfrac{\beta}{\alpha}I = \gamma I; \tag{17}$

desde $A$ es real, así que $\gamma \in \Bbb R$ pero esto es imposible ya que vemos fácilmente que $\gamma$ debe obedecer

$2\gamma^2 - \gamma + 1 = 0, \tag{18}$

cuyas raíces se sabe que son

$\dfrac{1 \pm i \sqrt 7}{4}; \tag{19}$

así $2x^2 - x + 1$ es mínimo para $A$ y nuestro Datos se aplica para permitirnos concluir que

$\lambda = \dfrac{1 \pm i \sqrt 7}{4} \tag{20}$

son todos los valores propios de $A$ Pero $A$ es de tamaño $3$ y toda matriz real de tamaño impar tiene al menos un valor propio real, ya que su polinomio característico es de grado impar. Esto contradice nuestra afirmación probada de que la totalidad de los valores propios de $A$ es (17); por lo tanto, no hay tal $A$ puede existir.

Hay tales $2 \times 2$ $A$ Sin embargo, por ejemplo

$A = \begin{bmatrix} -1/4 & -1 \\ 7/16 & -1/4 \end{bmatrix} \tag{21}$

hace el trabajo. Tenemos

$\det(A) = \dfrac{1}{2}, \tag{22}$

y el polinomio característico de $A$ es

$x^2 -\dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{2}. \tag{23}$