La suma de subespacios es un subespacio

Question

Hoy he encontrado una tarea:

Dejemos que $A$ y $B$ son subespacios de $V$ . Demuestra que $A\cup B$ es un subespacio sólo si $A\subset B$ o $B \subset A$ .

Por favor, explique por qué mi contraejemplo no es correcto.

Supongamos que $A$ es una primera coordenada y $B$ es una segunda coordenada de $\mathbb{R}^3$ . Entonces $A \nsubseteq B$ y $B \nsubseteq A$ pero $A\cup B$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$

Answer 1

Dejemos que $A=\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\}$ y $B=\{(0,x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}$ entonces $$ A\cup B=\{z\in\mathbb{R}^3\mid z=(x,0,0)\;\text{ or }\;z=(0,x,0)\;\text{ for some }\;x\in\mathbb{R}\}. $$ ¿Está claro ahora? ¿Qué propiedades de ser un subespacio lineal viola?

Answer 2

Supongamos, si es posible, $\exists\alpha$ y $\beta\in V$ tal que $\alpha\in A$ y $\beta\in B$ y $\alpha,\beta\notin A\cap B$ . Pero como $A\cup B$ es un subespacio, $\implies a\alpha+b\beta\in A\cup B$ . Ahora, si $a\alpha+b\beta\in A\implies a\alpha+b\beta=\gamma\in A\implies \beta=(\gamma-a\alpha)b^{-1}\in A$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, una de ellas tiene que estar contenida en la otra.

Answer 3

consideremos dos subespacios $S$ y $T$ de $\mathbb{R}^3$ , donde $S=\{(x,y,z):y=0,z=0\}$ , $T=\{(x,y,z):x=0,z=0\}$ , dejemos que $\alpha=(1,0,0)\in S$ , $\beta=(0,1,0)\in T$ Entonces $\alpha+\beta=(1,1,0)\notin T$ y también $\alpha+\beta=(1,1,0)\notin S$ también $\alpha+\beta=(1,1,0)\notin S\cup T$