Si una matriz A es triangular y unitaria, entonces es diagonal

Question

Tengo una prueba que esperaba que alguien pudiera revisar. Gracias de antemano.

Sea A una matriz triangular y unitaria. Entonces las columnas de A son de longitud 1 y son ortogonales entre sí. Supongamos que A es triangular superior, en este caso. Entonces fijemos a $_n$ = columna $n$ en A.

Claramente, como A es triangular superior y las columnas son de longitud 1, entonces $ a$ _1 $ = $$ \begin {bmatrix} \pm 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end {bmatrix} $$ $

Columna Now $a_2$ tiene una composición similar con $a_1$ . Es decir, en la diagonal de toda la matriz A, su segunda componente aquí, $y_2$ tiene el valor $\pm$ 1 y ceros en todos los demás componentes. Esto se debe, en primer lugar, a que sólo existen dos opciones para las entradas no nulas en las columnas, ya que A es triangular superior. En segundo lugar, porque $a_1$ * $a_2$ = 0 por ortogonalidad tenemos:

$$ 1*y_1 + 0*y_2 + 0 + 0 + ... + 0 = 0 $$

Dónde $a_2$ está formado por componentes $y_1$ , $y_2$ , ... $y_n$ . Así que claramente $y_1$ debe ser cero, y para i > 2 sabemos que $y_i$ = 0, por la propiedad triangular superior

$ a$ _2 $ = $$ \begin {bmatrix} 0 \\ \pm 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end {bmatrix} $$ $

El resto de la prueba utiliza la inducción tras examinar estos dos primeros casos como caso base.

Sea válida la siguiente afirmación para $a_n$ queremos demostrar que $a_(n+1)$ es un vector nulo excepto en su componente n+1 (donde $\pm$ 1 reside). Entonces, dada la $a_(n+1)$ observamos que por la ortogonalidad con todas las n columnas anteriores podemos demostrar que 0 debe ser el valor de las primeras n componentes en $a_(n+1)$ .

para cualquier componente ith en la columna para i < n+1 tenemos:

$a_1$ * $a_n+1$ = 0 => la primera componente debe ser cero (de forma similar a la anterior)

$a_2$ * $a_n+1$ = 0 => la 2ª componente debe ser cero (de forma similar a la anterior) y así sucesivamente... hasta concluir que cada componente hasta la n+1 debe ser igual a cero por ortogonalidad.

Por lo tanto, sólo el $n+1$ en la columna $a_(n+1)$ puede ser igual a $\pm$ 1 ya que todos los demás productos internos con las n columnas anteriores indican que los componentes restantes deben ser cero (y cualquier componente inferior es cero debido a que A es triangular superior).

Por lo tanto, para el caso triangular superior, la matriz A debe ser diagonal.

Creo que el caso triangular inferior es una prueba similar, pero aún no he profundizado en ella.

Gracias.

Answer 1

Creo que la prueba de nuestro OP H_1317 es conceptualmente correcta.

He aquí una prueba algo más abstracta:

Supongamos que $A$ es triangular superior; entonces afirmo que $A^{-1}$ también es triangular superior, ya que podemos escribir

$A = D + T, \tag 1$

donde $D$ es diagonal y $T$ es estrictamente triangular superior; es decir, las entradas diagonales de $T$ son todos cero; observamos que, como $A$ es triangular, $\det(A)$ es el producto de las entradas diagonales de $A$ ya que $A$ es unitaria, es no singular y por lo tanto $\det(A) \ne 0$ por lo que ninguna de las entradas diagonales de $A$ desaparecen, y lo mismo ocurre con $D$ Por lo tanto $D$ es invertible y podemos escribir

$A = D(I + D^{-1}T); \tag 2$

a continuación observamos que $D^{-1}T$ es a su vez estrictamente triangular superior, y por tanto nilpotente; de hecho tenemos

$(D^{-1}T)^n = 0, \tag 3$

donde $n = \text{size}(A)$ la nilpotencia de $D^{-1}T$ nos permite escribir una inversa explícita para $I + D^{-1}T$ En efecto, tenemos la conocida fórmula

$(I + D^{-1}T) \displaystyle \sum_0^{n - 1} (-D^{-1}T)^k = I + (-1)^n (D^{-1}T)^n = I; \tag 4$

así,

$(I + D^{-1}T)^{-1} = \displaystyle \sum_0^{n - 1} (-D^{-1}T)^k; \tag 5$

ya que toda matriz $(-D^{-1}T)^k$ que ocurre en esta suma es triangular superior, vemos que $(I + D^{-1}T)^{-1}$ es también triangular superior; de (2),

$A^{-1} = (I + D^{-1}T)^{-1}D^{-1}, \tag 6$

que muestra que $A^{-1}$ es triangular superior.

Habiendo establecido mi afirmación, ahora invocamos la unitaridad de $A$ :

$A^\dagger A = AA^\dagger = I, \tag 7$

es decir,

$A^\dagger = A^{-1}; \tag 8$

tenemos por definición

$A^\dagger = (A^\ast)^T = ((D + T)^\ast)^T = (D^\ast + T^\ast)^T = (D^\ast)^T + (T^\ast)^T, \tag 9$

por lo que vemos que $A^\dagger$ es triangular inferior cuando $A$ y por lo tanto $A^{-1}$ es triangular superior; entonces la única manera de que (8) se mantenga es con $T = 0$ por lo que vemos que

$A = D \tag{10}$

es una matriz diagonal.

Por supuesto, si $A$ es triangular inferior se obtiene el mismo resultado, la prueba es casi idéntica a la dada anteriormente. $OE\Delta$ .

Answer 2

Aquí se demuestra que una matriz triangular inferior invertible tiene una inversa triangular inferior sólo utilizando operaciones elementales de fila. De esto se deduce claramente que una matriz triangular unitaria debe ser diagonal.

Supongamos una matriz triangular inferior $A$ es invertible, digamos $$ A=\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} $$ Entonces $a_{ii}\ne0$ , para $i=1,2,\dots,n$ .

Denota por $E_i(c)$ la matriz obtenida de la $n\times n$ matriz de identidad multiplicando la $i$ -en la fila de $c\ne0$ ; del mismo modo, denotemos por $E_{ij}(d)$ la matriz obtenida a partir de la identidad sumando a la $i$ -en la fila de la $j$ -ésima fila multiplicada por $d$ (aquí se supone que $i\ne j$ ).

Tenga en cuenta que $E_i(c)$ ( $c\ne0$ ) y $E_{ij}(d)$ ( $i\ne j$ ) son matrices triangulares inferiores invertibles y sus inversas son, respectivamente, $E_i(c^{-1})$ y $E_{ij}(-d)$ , de nuevo triangular inferior.

Entonces se ve fácilmente que la multiplicación de una matriz a la izquierda por $E_i(c)$ o $E_{ij}(d)$ es lo mismo que realizar la correspondiente operación de fila elemental en $A$ . También puede comprobar que el producto $$ E_1(a_{11})E_{21}(a_{21})\dotsm E_{n1}(a_{n1}) E_{2}(a_{22})\dotsm E_{n}(a_{nn})I_n $$ devuelve la matriz $A$ simplemente realizando sucesivamente las operaciones de fila elementales: empezando por la derecha, las primeras operaciones de fila colocan $a_{nn}$ en la posición $(n,n)$ el siguiente es $E_{n,n-1}(a_{n,n-1})$ colocará $a_{n-1,n}$ en la posición $(n-1,n)$ . Estas dos entradas no se verán afectadas por las operaciones de fila posteriores y lo mismo ocurre con todas las demás multiplicaciones de matrices/operaciones de fila. Puedes ver que la matriz se "rellena" empezando por la esquina inferior izquierda, yendo luego hacia la izquierda y hacia arriba hasta llegar a la diagonal.

Por lo tanto, $A$ es el producto de matrices triangulares inferiores, cada una de las cuales tiene una inversa triangular inferior; por tanto, también $A^{-1}$ también es triangular inferior.