Distribución combinatoria

Question

Necesito ayuda con este ejercicio:

Hay <span class="math-container">$300$</span> de los estudiantes en un curso. Cada estudiante puede obtener un grado de <span class="math-container">$0-100$</span>. ¿De cuántas maneras puede dividir las puntuaciones para obtener un promedio de <span class="math-container">$60$</span>?

He tenido luchas para aislar el escenario de la media exacta requerida. Después de sé cómo hacer la distribución.

Answer 1

Primero de todo, tenga en cuenta que el promedio de 60 implica una puntuación total (suma de la puntuación de todos los estudiantes) $= 60\cdot300=18000$.

También, vamos a $x_i$ ser la puntuación de $i^{th}$ estudiante. A continuación, $0\leq x_i\leq100$. Supongo que sólo se puede pueden integral de los grados.

Tenga en cuenta que lo que necesita es $x_1+x_2+\cdots+x_{300}=18000$

Así, el uso de funciones de generación, el total de formas posibles de$=$ $$\text{Coeff. of }z^{18000}\text{ in }(z^0+z^1+z^2+\cdots+z^{100})^{300}$$ $$=(\frac{z^{101}-1}{z-1})^{300}$$ $$=(z^{101}-1)^{300}\cdot(z-1)^{-300}$$ $$=\sum_{i=0}^{178}\binom{300}{i}\binom{300+(18000-101i)-1}{18000-101i}$$ $$=\sum_{i=0}^{178}\binom{300}{i}\binom{18299-101i}{18000-101i}$$ Tenga en cuenta que tomé $i\leq 178$ porque $18000-101i\geq0\implies i\leq178.2$. Y voy a ser muy honesto. No sé si hay alguna manera de solucionar esa suma.

Answer 2

Supongamos que hay $n$ de los alumnos en un determinado curso, y en particular el examen de cada estudiante puede recibir un número entero de grado de $0$ a $100$. Si la media de la clase en el examen es exactamente $60$, entonces, ¿cuántas diferente grado distribuciones están ahí para que los estudiantes del curso?

Lo que realmente estamos haciendo es contar las soluciones a un restringido Diophantine ecuación: $$ s_1+s_2+\cdots+s_n=n\cdot60 \quad \text{con todos } s_i\in[0,100] $$ En el caso de $n=1$, es evidente que existe una única solución. En el caso de $n=2$, tendremos $81$ soluciones, y para $n\geq 3$ queda claro que no son difíciles de contar problemas que producen un número bastante grande.

Afortunadamente, este problema ha sido bien estudiado; lo que realmente estamos haciendo es contar entramado de puntos en algunos de grandes dimensiones polytope, lo que puede conseguirse con Ehrhart polinomios. En particular, este post tiene una respuesta que muestra cómo usted puede ir sobre la computación en la respuesta que usted busca!

Answer 3

La correcta generación de la función que ya está dado por Ankit Kumar.

Así que para encontrar la solución exacta, un par de líneas de código de Mathematica es suficiente:

g = (z^101 - 1)/(z - 1);
f = g^300;
SeriesCoefficient[f, {z, 0, 18000}]

283842333432402321353024303661058637351420936084067738626583506213864447957870755539611750086168273196143155816656392895618438969536797685183460631860648381858482057644617263985079629258986110897789595623952660661105103107276955285902613205328147901598400715242942785403171606118195123592165718190326762039521274137278366225940884773691094689005096899697160884662108869409844236284336801805326795531698837921700003716989423475547841836096863072991222376259898318028580853239559456607248039447660955555656440250262052607092640488420986795396794284727379957951608980168883759138931179704247147