¿Cómo mostrar que, para cualquier número entero, hay un triángulo con longitudes del lado racional y esa zona entero?

Question

En el libro de Cohen, Cohen, la Teoría de los números Volumen 1, el primer ejercicio es mostrar que, para cualquier número entero, hay un triángulo con el lado racional longitudes tales que el triángulo tiene que entero como un área.

Por ejemplo,

¿Cuáles son el lado racional longitudes para un área de 2 triángulo?

Dada la fórmula de Heron para un triángulo de área $2$,

$$\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{16}}=2$$

¿Cómo podemos hallar los lados de un lado racional triángulo $(a,b,c)$ que satisface esta ecuación?

Otro ejemplo, (9,10,17)/6 tiene un área de 1, y así sucesivamente para cada entero.

Buscando el método para resolver el ejercicio, no necesariamente un compendio de los más conocidos triples con el entero de las áreas.

Answer 1

Solución parcial que puede ayudar .

Dado $M\in \mathbb{N}$ se supone que vamos a encontrar $a,b$ e $c \in \mathbb{Q}$ tal que $M^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$ donde $s=\frac{a+b+c}{2}$

Esto es equivalente a encontrar $a,b$ e $c$ tal que $$16M^2=(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)$$

Deje $(a-b+c)=X,(a+b-c)=Y$ e $(-a+b+c)=Z$

Luego debemos determinar $X,Y$ e $Z\in \mathbb{Q}^+$ tal que $$16M^2=(X+Y+Z)\cdot X \cdot Y\cdot Z.$$

Deje $(X+Y+Z)=2^k\cdot M$ e $X \cdot Y\cdot Z=\frac{16M}{2^k}$

La solución a este sistema existe cuando $P^2 \geq 4Q$ donde $P=2^k M-X$ e $Q=\frac{16M}{2^k}$

Que solución existe para algunos más grandes $k$ como LHS de $P^2 \geq 4Q$(Después de hacer los signos de todos los términos positivos por transposición) incluye $2^{2k}$ pero RHS tienen el más alto exponente $2^{k+1}$

Seguimos a la izquierda hasta encontrar $Y,Z \in \mathbb{Q}^+$ tal que $(2^kM-Y-Z)(YZ)=16M{2^k}$ e $2^k M-Y-Z >0$. Tenga en cuenta que esta es una curva en $\mathbb{R}^2. La que está conectado

Cuando son racionales y, a continuación, $Y,Z$ entonces $X=2^k M-Y-Z$ , que es racional y por lo tanto el sistema de ecuaciones $(a-b+c)=X,(a+b-c)=Y$ e $(-a+b+c)=Z$ admite solución racional porque son ecuaciones lineales.

Nota-Otras propiedades del Triángulo son automáticamente satisfechos porque si $X>0$ entonces $a+c>b$ y así sucesivamente.

Answer 2

Me preguntó Henri Cohen para una respuesta y él tuvo la amabilidad de correo electrónico con la siguiente respuesta:

"Por simples manipulaciones algebraicas se puede encontrar una solución racional la función de la zona $n$. Por ejemplo

$a=(2n-1)/2$

$b=n(4n^2+4n+5)/(4n^2-1)$

$c=(20n^2+4n+1)/(2(4n^2-1))$

"

Así, para el área de $1$, tenemos racional triángulo longitudes $(1/2,13/3,25/6)$

Para el área de $2$, tenemos racional triángulo longitudes $(3/2,58/15,89/30)$

Para el área de $3$, tenemos racional triángulo longitudes $(5/2,159/35,193/70)$ y así sucesivamente.

La pregunta más fácil sigue siendo. Lo "simples manipulaciones algebraicas" está hablando?

Answer 3

Solución dada por Henri Cohen es equivalente a la solución del triángulo (a,b,c) con lados que se muestra a continuación:

$a=(2n-1)(4n^2-1)$

$b=2n(4n^2+4n+5)$

$c=(20n^2+4n+1)$

Y De Área $A= 4n(4n^2-1)^2$

Desde "OP" está interesado en números enteros $'n'$ como área que necesita para dividir el triángulo de lados por $[2(4n^2-1)]$

y así, el área se divide por el cuadrado de $[(2)(4n^2-1)]$ que es igual a $4(4n^2-1)^2$ y él se quedará con Área igual a $'n'$

Answer 4

Bien, la fórmula sí mismo Geronova triángulo.

<span class="math-container"> $$S_g=\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}$$ </span>

IF: <span class="math-container">$p,s,k,t$</span> -enteros nos pidieron. Entonces las soluciones son.

<span class="math-container"> $$a=(pt+ks)(k^2+t^2)ps$$ </span>

<span class="math-container"> $$b=(pt-ks)((k^2+t^2)ps+(p^2+s^2)kt)$$ </span>

<span class="math-container"> $$c=(pt+ks)(p^2+s^2)kt$$ </span>

<span class="math-container"> $$S_g=4pskt(p^2t^2-k^2s^2)((k^2+t^2)ps+(p^2+s^2)kt)$$ </span>

Answer 5

Para (p,s,k,t)=(2,1,1,1), la fórmula,

dado por "Individ" nos da la triángulo $(a,b,c)=(12,9,15)$ y de área $(A) =54$

Donde $S_g=4A$

El área de $A=54$ es un número entero. Así integer $(54)$ es representado como un triángulo mediante la fórmula dada por "Individ"

Hay numerosos fórmula para representar el área de diferentes triángulo.

Pero si no hay una solución general (respecto del triángulo), que representan el entero es de nadie' adivina.