Axiomas de exceso en la definición de una métrica

Question

En primer lugar, soy consciente de cómo mostrar la siguiente, mi pregunta se refiere el razonamiento de la norma métrica definición.

Tradicionalmente, los axiomas de la definición de una métrica $\rho:X\times X \rightarrow \mathbb{R}$ donde $X$ es un conjunto no vacío, está dada como:

1. $\forall x, y\in X, \rho(x, y) = 0 \iff x = y$,

2. $\forall x, y\in X, \rho(x, y) = \rho(y, x)$,

3. $\forall x, y, z\in X, \rho(x, y)\leq \rho(z, x) + \rho(z, y)$,

4. $\forall x, y\in X, 0 \leq \rho(x, y)$.

Es fácil ver que el axioma 4 de la siguiente manera a partir de los axiomas 1 y 3. También es bastante trivial demostrar que el axioma 2 de la siguiente manera a partir de los axiomas 1 y 3. Parece lógico que sólo se requieren los dos axiomas

1. $\forall x, y\in X, \rho(x, y) = 0 \iff x = y$,

2. $\forall x, y, z\in X, \rho(x, y)\leq \rho(z, x) + \rho(z, y)$,

como una definición de una métrica. Hay una buena razón por la que este no es el caso, además de la continuidad histórica?

Edit: Gracias a Pablo Heladas por la mención de mi definición original era para pseudometrics... La pregunta ha sido actualizado.

Edit 2: Como comentaristas han pedido una prueba:

Los axiomas 1, 3 implica el axioma 2: en Primer lugar, considere el triángulo de la desigualdad de la general $x, y, z\in X$. A continuación, $$\rho(x, y) \leq \rho(z, x) + \rho(z, y),$$ next, set $z = y$ to obtain $$\rho(x, y) \leq \rho(y, x) + \rho(y, y)\Rightarrow \rho(x, y) \leq \rho(y, x)$$ by axiom 1. Similarly, $$\rho(y, x) \leq \rho(z, y) + \rho(z, x),$$ and setting $z=x$ yields $$\rho(y, x) \leq \rho(x, y) + \rho(x, x)\Rightarrow \rho(y, x) \leq \rho(x, y)$$ so $\rho(x, y) = \rho(y, x)$.

Podemos, a continuación, mostrar los Axiomas 1, 2, y 3 implican 4. Ver esta respuesta. Puede ser algo incorrecto decir que los axiomas 1 y 3 implican 4, pero no veo esto como un problema, como 1 y 3 implican 2, y 1, 2, 3 implica 4. Si estoy en lo incorrecto en esa suposición, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Su declaración de la desigualdad de triángulo no es exactamente el mismo que el habitual, que dice $d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y)$. La definición habitual admite la intuición de que la $d(x, y)$ mide el tiempo (o el costo o en el trabajo) de llegar de $x$ a $y$ sin asunción de que la obtención de $x$ a $y$ implica la misma cantidad de tiempo ( ... ) como el viaje de regreso.

Hay ejemplos muy sencillos de asimétrica métricas: por ejemplo, lo que se podría llamar la mañana, hora punta de métrica entre una ciudad $A$ y un suburbio $B$ con $d(A, B) < d(B, A)$ e $d(A, A) = d(B, B) = 0$. Vea Lee Mosher comentario para muchos de los ejemplos más interesantes.

La respuesta a su pregunta implica necesariamente una cuestión de matemática opinión. La costumbre axiomas para la métrica espacios claramente separados por varios motivos. Como sucede a menudo con axiomatisations, usted puede encontrar un axiomatisation con menos axiomas o los operadores por lo que algunas inteligente cambios (por ejemplo, axiomatising un grupo en los términos de la operación $(x, y) \mapsto xy^{-1}$), pero en general se hacen de la axiomatisation más difícil de entender y más difícil de generalizar.