Evaluar

Question

$\lim_{x\to \infty} (x+5)\tan^{-1}(x+5)- (x+1)\tan^{-1}(x+1)$

¿Cuáles son las buenas/ ingeniosos métodos para evaluar este límite?

Traté de tomar $\tan^{-1} (x+5) = \theta$ para evitar la inversa de funciones, pero no es útil y hace que sea aún más complicado.

También probé $\tan^{-1}a - \tan^{-1}b$ fórmula de los términos asociados a la x pero que no ayuda a deshacerse de otros términos multiplicados por $1$ e $5$.

Edit: (por Favor, la dirección esta en su respuesta)

No se puede directamente hacer esto:

$\lim_{x\to \infty} (x+5)\tan^{-1}(x+5)- (x+1)\tan^{-1}(x+1)$

$= (x+5)\dfrac{\pi}{2} - (x+1)\dfrac{\pi}{2}$

$ = \dfrac {5\pi - \pi}{2} = 2\pi$

Yo no veo nada de malo con ella, y se da la respuesta correcta.

Este método es correcto? Puede ser utilizado en otras preguntas también?

Answer 1

La expresión debajo del límite puede ser escrito como $$x\{\tan^{-1}(x+5)-\tan^{-1}(x+1)\}+\{5\tan^{-1}(x+5)-\tan^{-1}(x+1) \}$$ As you have noted in your question the second term tends to $5\pi/2-\pi/2=2\pi$. The first term on the other hand can be written as $$x\tan^{-1}\frac{4}{1+(x+1)(x+5)}=x\tan^{-1}t\text{ (say)} $$ where $t\a 0$. Noting that $(1/t)\bronceado^{-1}t\a 1$ we have $$x\tan^{-1}t=xt\cdot\frac {\tan^{-1}t}{t}\to 0\cdot 1=0$$ as $xt=4x/(1+(x+1)(x+5))\a 0$. Thus the desired limit is equal to $2\pi$.

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Su enfoque tiene un grave problema, ya que no se puede reemplazar una parte de la expresión con su límite en general. Ver esta respuesta para obtener más detalles.

Usted también puede mirar en esta manera. Supongo que la pregunta es modificada para evaluar el límite de $$(x^2+5)\tan^{-1}(x+5)-(x^2+1)\tan^{-1}(x+1)$$ If we proceed as per your approach we again get the answer as $2\pi$. But the right answer here would be $2\pi+4$. Proceeding as I have explained above you will get $2\pi$ plus a term $x^2\bronceado^{-1}t$ and this will lead to $x^2t$ which tends to $4$.

Answer 2

Sugerencia: <span class="math-container">$(x+5)\tan^{-1}(x+5) - (x+1)\tan^{-1}(x+1) = \dfrac{\tan^{-1}(x+5)-\tan^{-1}(x+1)}{\frac{1}{x}}+ 5\tan^{-1}(x+5) - \tan^{-1}(x+1)$</span>. Regla de L'hopitale de uso en el primer término y los demás términos tienen límites bien conocidos...

Answer 3

Uso de la expansión de Taylor: $$\bronceado^{-1}(x+1)=\frac{\pi}{2} - \frac 1x + \frac 1{x^2} - \frac{2}{3 x^3} + O\left(\frac{1}{x^5}\right);\\ \bronceado^{-1}(x+5)=\frac{\pi}2 - \frac 1x + \frac5{x^2} - \frac{74}{3 x^3} + \frac{120}{x^4} + O\left(\frac 1{x^5}\right);\\ \lim_{x\to \infty} (x+5)\bronceado^{-1}(x+5)- (x+1)\bronceado^{-1}(x+1)=\\ \lim_{x\to \infty} (x+5)\left[\frac{\pi}{2}-\frac1x+\frac{5}{x^2}+O\left(\frac 1{x^3}\right)\right]- (x+1)\left[\frac{\pi}{2}-\frac1x+\frac{1}{x^2}+O\left(\frac 1{x^3}\right)\right]=\\ \lim_{x\to \infty} \left[2\pi\frac 4x+O\left(\frac1{x^2}\right)\right]=2\pi.$$

Answer 4

Considere la posibilidad de $$ f_a(t)=\arctan\dfrac{1+a}{t} $$ definido por $t>0$; a continuación, $\lim_{t\to0^+}f_a(t)=\pi/2$. También, para $t>0$, $$ f_a'(t)=-\frac{1}{t^2}\frac{1}{1+\dfrac{(1+a)^2}{t^2}}=-\frac{1}{t^2+(1+a)^2} $$ y, por tanto, $\lim_{t\to0^+}f_a'(t)=-1$.

Con la sustitución de $x=1/t$, el límite puede escribirse como $$ \lim_{t\to0^+}\biggl(5f_5(t)-f_1(t)+\frac{f_5(t)-f_1(t)}{t}\biggr) $$ Con l'Hôpital y el cálculo anterior, el límite de la fracción es $0$, por lo que el límite es $$ \frac{5\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=2\pi $$

Su método es incorrecto: no se puede escribir $$ \lim_{x\to\infty}\bigl((x+5)\arctan(x+5)- (x+1)\arctan(x+1)\bigr) = (x+5)\dfrac{\pi}{2} - (x+1)\dfrac{\pi}{2} $$ porque el límite no puede depender de $x$ y básicamente estás usando $\infty-\infty=0$, lo cual es incorrecto.